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∑sin(nx)/n函数值的计算方法

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在参考《吉米多维奇4》的基础之上，最近终于解决了一直困扰自己的一个问题——下面级数的值如何计算，现在将方法分享给大家，若有纰漏之处，望大家批评指正。

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}$

首先，该级数是条件收敛的。证明的话，分两步：

一、该级数是收敛的，证明如下：（用Dirichlet判别法）

$\sum _{n=1}^{N}\sin nx=\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\cdots +\sin N$

运用三角函数的积化和差公式，得

$-2\sin \frac{x}{2}(\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\cdots +\sin N)=[\cos \left ( x+\frac{x}{2} \right )-\cos \left ( x-\frac{x}{2} \right )]+[\cos \left ( 2x+\frac{x}{2} \right )-\cos \left ( 2x-\frac{x}{2} \right )]+\cdots +[\cos \left ( Nx+\frac{x}{2} \right )-\cos \left ( Nx-\frac{x}{2} \right )]$

经过化简（上式等式右边相邻两项抵消），得（0< x <pi）

$\sum _{n=1}^{N}\sin nx=\frac{\cos (Nx+\frac{x}{2})-\cos (x-\frac{x}{2})}{2\sin \frac{x}{2}}$

也就是说，无论N取多大，都有

$\left | \sum _{n=1}^{N} \sin nx \right | \leq \left | \frac{\cos (Nx+\frac{x}{2})-\cos (x-\frac{x}{2})}{2\sin \frac{x}{2}} \right | \leq \left | \frac{2}{2\sin \frac{x}{2}} \right | \leq \frac{1}{\left | \sin \frac{x}{2} \right |} \leq \infty$

故sinnx的部分和有界，又因为1\n单调递减趋于零，由Dirichlet判别法知，该级数收敛。

二、该级数不绝对收敛。证明如下：

$\sum_{n=1}^{\infty}\left | \frac{\sin nx}{n} \right | \geq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin ^2nx}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1-\cos 2nx}{2n})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos 2nx}{2n}$

注意，上式等式最右侧的级数同上面一的证法也可证明收敛，而右边第一项的级数是发散的，故该级数加绝对值后等于正无穷，即是发散的。

下面开始计算该级数的值：（运用复数）

令 $z=\cos x+i\sin x$ ，那么有（下面第三个等号运用公式 lnz=ln(|z|e^iargz)=ln|z|+iargz）

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n}=\ln \frac{1}{1-z}=\ln \frac{1}{1-\cos x-i\sin x}=-\frac{1}{2}\ln (2-2\cos x)+i\arctan (\frac{\sin x}{1-\cos x})$

而

$\frac{\sin x}{1-\cos x}=\cot \frac{x}{2}=\tan \frac{\pi-x}{2}$

故有

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n}=- \frac{1}{2} \ln (2-2\cos x)+i\arctan (\frac{\sin x}{1-\cos x})=-\frac{1}{2}\ln (2-2\cos x)+i\frac{\pi-x}{2}$

又由棣莫弗公式得

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(e^{ix})^n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{inx}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx+i\sin nx}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n}+i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}$

实部对实部，虚部对虚部，故有

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}=\frac{\pi-x}{2}$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}=-\frac{1}{2}\ln (2-2\cos x)=-\ln\left | 2\sin \frac{x}{2} \right |$

至此，问题得以解决。如计算下面级数的值：可令x=1，则有

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin n}{n}=\frac{\pi-1}{2}\approx 1.0708$

最后，希望大家能够对这类问题有所启发，掌握解决这类问题的一种思路。

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