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f(x)=x^n的导数f'(x)=nx^(n-1)的证明

证明准备

1.首先明确导数定义 $f$ '(x)= $\frac{f(x_{0} +\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$

2.对于任意实数a、b、n，有 $(a+b)^n$ = $a^n+na^(n-1)b+na^(n-2)b^2...+nab^(n-1)+b^n$

证明过程

已知 $f(x)=x^n$ ,求 $f’（x）$

$f(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^n=x^n+nx^(n-1)\Delta x...+nx\Delta x^(n-1)+\Delta x^n$

$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\frac{nx^(n-1)\Delta x...+nx\Delta x^(n-1)+\Delta x^n}{\Delta x}$

取极限并整理

得 $\lim\nolimits_{\Delta x\to0} {nx^(n-1)...+nx\Delta x^(n-2)+\Delta x^(n-1)}$

$∴$ $f’(x)$ = $nx^(n-1)$

证毕

补充：事实上，无论 $\Delta x$ 的次数如何，只要不等于0，取极限后都可以忽略，因此与导数有关的只有f(x+ $\Delta x$ )中 $\Delta x$ 次数为1的式子

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