圆孔菲涅耳夫琅禾费衍射MATLAB演示含泊松亮斑瑞利判据

内容目录：一、菲涅耳圆孔衍射 、泊松亮斑、菲涅耳波带片 二、夫琅禾费衍射圆孔衍射的艾里斑 、瑞利判据

参考文献

[1]姜宗福. 物理光学导论（第二版）[M]. 北京: 科学出版社, 2018

[2]梁铨廷. 物理光学（第5版）[M]. 北京: 电子工业出版社, 2018.

[3]赵凯华. 新概念物理教程 光学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.

[4]蔡履中. 光学（第3版）[M]. 北京: 科学出版社, 2007.

一、圆孔、圆屏菲涅耳衍射

图1 圆孔菲涅耳衍射装置图[1]

其衍射分析可以用菲涅耳衍射积分公式（定量）、菲涅耳半波带法（半定量）。

菲涅耳-惠更斯原理认为：衍射是子波的相干叠加，即邻近子波们“稠密的干涉”。（杨氏双缝干涉是子波阵面间隔较远的“稀疏的干涉”）。

菲涅耳那个年代没有计算机，数值计算“稠密的干涉”是费力的，于是简化处理。施加足够良好的几何对称性，比如圆形且只定性地求中轴线上的点的亮暗情况——菲涅耳半波带法。

【什么是菲涅耳半波带？】将波前或波阵面（同相位点集合）密铺划分成到像点光程差为半波长的一系列环带，以便于复振幅矢量叠加求和。

图2 半波带法示意图[2]

如果相邻波带之间差1/4波长，就叫1/4波带。之所以讲半波带法，是因为便于简化叠加过程：

图3 菲涅耳半波带代表的复振幅叠加[1]

奇偶凑一对的合振幅就剩一点，近似抵消，这剩余的一点的无穷级数和就是半径长度的合振幅

图4 菲涅耳半波带法的公式[3]

奇亮偶暗，无穷首半。其中菲涅耳半波带数计算方式因孔径而异，以圆孔为例求半波带数：

图5 小圆孔菲涅耳半波带数计算公式[4]

其衍射图案如下：

图6 小圆孔菲涅耳半波带数及其衍射场[1]

用MATLAB仿真上述现象，距离继续增大时:

图7 7种色光的菲涅耳圆孔衍射程序图

我们已经知道了半波带法的思想是：根据装置参数计算半波带数、半波带数奇亮偶暗；若隔一个半波带数进行遮挡，则可形成菲涅耳波带片：

图8 菲涅耳波带片示意程序图

以增大光强：

图9 菲涅耳波带片的光强放大作用[4]

现在我们考虑小圆盘的衍射，实验装置：

图10 小圆屏衍射装置[4]

其与小圆孔是互补的，则其第1个未遮挡的半波带，就是小圆孔透过的最后一个半波带的下一个半波带：

图11 小圆屏衍射的几个规律[4]

模拟上述过程，除非P点距离很近，否则屏后轴上总为亮点：

图12 程小圆屏衍射距离改变动画程序图

这个亮点就是著名的“泊松亮斑”，它使光的波动说一战定胜局。

图12 泊松亮斑条件与现象

在MATLAB中模拟，有：

图14 泊松亮斑程序图

可以看到几何阴影区中心有一个小亮点。

二、圆孔的夫琅禾费衍射：艾里斑、瑞利判据

实验装置如下，夫琅禾费的复振幅可以用一阶贝塞尔函数来表示：

图15 圆孔夫琅禾费衍射的贝塞尔函数表达[1]

而衍射图样是光强，即复振幅的模方：

图16 圆孔夫琅禾费衍射光场[1]

根据上述原理，用MATLAB绘制圆孔的夫琅禾费衍射图样：

图17 圆孔夫琅禾费衍射光场程序图

圆孔的夫琅禾费衍射也可以借助傅里叶变换法模拟：

图18 圆孔夫琅禾费衍射的傅里叶变换法程序图

其他类型的孔径也是同理，傅里叶变换法模拟夫琅禾费衍射的更多相关效果图集可见于视频：

视频状态异常

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     MATLAB单缝多缝矩孔圆孔任意孔径的夫琅禾费衍射效果图
   

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基于傅里叶变换法，可以编写一个GUI，来演示不同情形的菲涅耳衍射或夫琅禾费衍射

图19 常见衍射GUI效果图

用户可进行参数——现象的交互。本截图引用自：

视频状态异常

四、艾里斑与瑞利判据

圆孔的夫琅禾费衍射形成的中央亮斑是艾里斑，如果两个艾里斑相遇，会造成模糊，比如两颗星星不能分辨。瑞利判据是一种规定，如果一个艾里斑中心位置=相邻艾里斑边缘，为临界分辨条件：

图20 瑞利判据原理及效果图[3]

对成像仪器来说，此时有一个最小分辨角，这个角是两个物点对望远镜中心的张角：

图21 瑞利判据效果图[1]

根据上述过程用MATLAB演示：

图22 瑞利判据程序图

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