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MATLAB知识小结与技巧

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matlab常用到的永久变量。

ans：计算结果的默认变量名。

i j：基本虚数单位。

eps：系统的浮点(F10a9Bg个oht)：

inf: 无限大，例1/0

nan NaN：非数值(N航a nmnb谢)

pi：圆周率n(n＝3．1415926．．)。

realmax：系统所能表示的最大数值。

realmin: 系统所能表示的最小数值，

nargin: 函数的输入参数个数：

nargout：函数的输出多数个数

①matlab的所有运算都定义在复数城上。对于方根问题运算只返回处于第一象限的解。

⑦matlab分别用左斜／和右/来表示“左除和“右除”运算。对于标量运算而言，这两者的作用没有区别：但对于矩阵运算来说，二者将产生不同的结果。

多项式的表示方法和运算

p(x)=x^3-3x-5 可以表示为p=[1 0 –3 5],求x＝5时的值用plotval(p,5)

也可以求向量：a=[3 4 5],plotval(p,a)

函数roots求多项式的根 roots(p)

p=[1 0 -3 5];

r=roots(p)

由根重组多项式poly(根)

q=poly(r)

real(q) 有时会产生虚根，这时用real抽取实根即可

conv(a,b)函数多项式乘法（执行两个数组的卷积）

a=[1 2 3 4];

b=[1 4 9 16];

c=conv(a,b)

多项式的加减法，低阶的多项式必须用首零填补，使其与高阶多项式有同样的阶次

多项式除法 [q , r]=deconv(c , b) 表示b/c q为商多项式，r为余数

多项式的导数 polyder(f)

f=[ 2 4 5 6 2 1];

s=polyder(f)

多项式的曲线拟合

x=[1 2 3 4 5];

y=[5.6 40 150 250 498.9];

p=polyfit(x,y,n) 数据的n次多项式拟合 poly：矩阵的特征多项式、根集对应的多项式

x2=1:0.1:5; n取1时，即为最小二乘法

y2=polyval(p,x2); 计算多项式的值（polyvalm计算矩阵多项式）

plot(x,y,'*',x2,y2);grid on

最小二乘法

x=[1 2 3 4 5];

y=[5.6 40 150 250 498.9];

plot(x,y,’*’),lsline

多项式插值（p158）

YI=interp1(x,y,XI,’method’) 一维插值

(XI为插值点的自变量坐标向量,可以为数组或单个数。

method为选择插值算法的方法，包括：

linear( 线性插值)

cubic(立方插值)
spline (三次样条插值)

nearst(最近临插值)

例如：人口预测

year=1900:10:1900;

number=[78 91 105 ….每十年的人口数];

x=1900:1:2000;

y=interp1(year,number,x,’spline’);

plot(year,numeber,’*’,x,y);grid on

一维博里叶变换插值使用函数interpft实现，计算含有周期函数值的矢量的傅里叶变换

然后使用更多的点进行傅里叶变换的逆变换，函数的使用格式如下：y=interpft(x,n) 其中x是含有周期函数值的矢量，并为等距的点，n为返同等间距点的个数。

求解一元函数的最小值

y=fminbnd('humps',0.3,1) humps为一内置函数

求解多元函数的最小值

函数fminserch用于求多元函数的最小值。它可以指定一个开始的矢量，并非指定一个区间。此函数返回一个矢量为此多元函数局部最小函数值对应的自变量

纹理成图功能

由warp函数的纹理成图功能实现平面图像在空间三维曲面上的显示。

将文件名为flowers.tif的图像分别投影到圆柱形和球星表面上

i=imread('flowers.tif');

[x,y,z]=cylinder;

subplot(1,2,1),warp(x,y,z,i);

[x,y,z]=sphere(50);

subplot(1,2,2),warp(x,y,z,i);

warp(x,y,z,i);

求函数的零点

求函数humps在[1，2]区间上的零点 fzero(‘humps’,[1,2]);

也可以给一个初始值 fzero(‘humps’,0.9);

对于多项式可直接由roots求其根 roots(‘4*x^3+……’);

也可以用solve

c= sym ('c','real');

x=sym('x','real');

s=solve(x^3-x+c)

函数定积分

q=quadl(‘humps’,0,1) 求humps函数在0 1区间上的定积分，也可以用quad语句

二重积分首先计算内积分，然后借助内积分的中间结果再求出二重积分的值，类似于积分中的分步积分法。

Result=dblquad(‘integrnd’,xin,xmax.,ymin,ymax) integrnd为被积函数的名称字符串

符号积分运算int(f)

最精确的是符号积分法

计算s=∫12[∫01xydx]dy

syms x y 中间为空格，不能为逗号

s=int(int(‘x^y’,’x’,0,1),’y’,1,2) 引号可省略

vpa(s) 显示s的值

内积分限为函数的二重积分

I=∫14[∫√y2(x2+y2)dx]dy

符号法I=vpa(int(int(‘x^2+y^2’,’x’,sqrt(y),2),’y’,1,4)

微分运算（diff）

微分是描述一个函数在一点处的斜率，是函数的微观性质、因此积分对函数的形状在小范围内的改变不敏感，而微分很敏感。—个函数的小的变化，容易产生相邻点的斜率的大的改变。由干微分这个固有的困难．所以尽可能避免数值微分．特别是对实验获得的数据进行微分。在这种情况，最好用最小二乘曲线拟合这种数据，然后对所得到的多项式进行微分；或用另一种方法对点数据进行三次样条拟合，然后寻找样条微分，但是，有时微分运算是不能避免的，在MATLAB中．用函数diff汁算一个矢量或者矩阵的微分(也可以理解为差分)。

a=[1 2 3 3 3 7 8 9];

b=diff(a) 一次微分

bb=diff(a,2) 二次微分

实际上diff(a)=[a(2)-a(1),a(3)-a(2),……,a(n)-a(n-1)]

对于求矩阵的微分，即为求各列矢量的微分，从矢量的微分值可以判断矢量的单调性、是否等间距以及是否有重复的元素。

符号微分运算(diff)

syms x t a

f =cos(a*x)

df =diff(f) 由findsym的规则，隐式的指定对x进行微分

dfa=diff(f,'a') 指定对变量a进行微分

dfa=diff(f,'a',3) 三次微分

diff函数不仅作用在标量上，还可以在矩阵上，运算规则就是按矩阵的元素分别进行微分

syms a x

A=[cos(a*x),sin(a*x),-sin(a*x),cos(a*x)];

dA=diff(A)

微分方程dsolve

在matlab中，符号 表达式 中包含字母D用来表示微分运算，D2,D3分别对应第二，第三阶导数，D2y表示d2y/dt2 把t缺省了

y=dsolve(‘Dy=f(y)’) 单个方程，单个输出

[u,v]=dsolve(‘Du=f(u,v)’,’Dv=g(u,v)’) 2个方程，2个输出

s=dsolve(‘Dx=f(x,y,z)’,’Dy=g(x,y,z)’,’Dz=k(x,y,z)’)

s.x s.y s.z 3个方程，架构数组

dsolve('Dx=-a*x') 结果：C1*exp(-a*t) 没给定初值，所以结果中含参变量

x=dsolve('Dx=-a*x','x(0)=1','s') 结果exp(-a*s) 给定了初值，独立变量设为s

计算多元函数的梯度

fx=gradient(f) f是一个矢量返回f的一维数值梯度，fx对应于x方向的微分。

[x,y]=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2);

z=x.*exp(-x.^2-y.^2);

[px,py]=gradient(z,.2,.2);

contour(z),hold on 画等值线

quiver(px,py)

matlab字符串运算

利用sym命令创建表达式

f=sym(‘cos(x)+sin(x)’)或 syms x , f=cos(x)+sin(x)

diff(f) 求其导数

（也可直接用命令f=diff(‘cos(x)+cos(y)’)

当字符表达式中含有多于一个的变量时，只有—个变量是独立变量。如果不告诉matlab哪一个变量是独立变量，则可以通过findsym命令询问

利用findsym命令查询独立变量

f=sym('sin(a*x)+b')

findsym(f,1) 给出独立变量（一个变量，如果为2则给出2个变量）

findsym(f) 给出所有变量

符号表达式的化简和替换

collect函数 collect（f，v）表示将f表示为关于符号变量v的多项式形式，即关于v合并同类项，v缺省，则用findsym确定的缺省变量

syms x y

f=x^2*y+y*x-x^2-2*x+1

collect(f) 得到(-1+y)*x^2+(y-2)*x+1

collect(f,y) 得到(x+x^2)*y+1-x^2-2*x

expand函数 expand（f）将f展开，写成和的形式

syms x

expand((x-1)^3) 得到x^3-3*x^2+3*x-1

horner函数 horner(f)将f写成镶嵌套形式

syms x

horner(x^3-6*x^2) 得到(-6+x)*x^2

factor函数 factor（f）将f转换成低阶有理多项式的乘积

syms x

f=x^3-6*x^2+11*x-6

factor(f) 得到 (x-1)*(x-2)*(x-3)

simplify(f)函数综合化简

simple(f) 函数的最简形式

syms x

f=2*sin(x^2)+cos(3*x)

simple(f) 如果不想看到中间过程，可z=simple(f) 有时使用两次simple命令可以得到最简式

如果想知道哪个简化命令得到最后结果，可以加一个参数how

[z,how]=simple(f)

符号表达式的替换

subs(f,new,old)

f='a*x^2+b*x+c'

subs(f,'t','x') 得到a*(t)^2+b*(t)+c subs是一个符号函数，返回一个符号变量

subexpr函数有时matlab返回的符号表达式难以理解，用subexpr函数，可以将表达式中重复出现的子式用一个符号表示，从而简化表达形式

c=sym('c','real');

x=sym('x','real');

s=solve(x^3-x+c)

a=subexpr(s) 得到sigma = -108*c+12*(-12+81*c^2)^(1/2)

a =

[ 1/6*sigma^(1/3)+2/sigma^(1/3)]

[ -1/12*sigma^(1/3)-1/sigma^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*sigma^(1/3)-2/sigma^(1/3))]

[ -1/12*sigma^(1/3)-1/sigma^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/6*sigma^(1/3)-2/sigma^(1/3))]

pretty函数有时也能起到同样的作用。

Pretty(f) 显示函数的习惯书写形式

线性方程组的求解

求解线性方程组，用反斜杠/

a=hilb(3)

b=[1 2 3]'

a/b

矩阵的特征值和特征向量

用eig(v,d)函数，[v,d]=eig(A); 其中d将返回特征值，v返回相应的特征向量，缺省第二个参数将只返回特征值

syms a b c real

A=[a b c; b c a; c a b];

[v,d]=eig(A);

为了观察更清楚，使用以前学过的替换函数，这里不用默认的sigma，而改用M，显式的代替繁琐的表达子式

vv=subexpr(v);

vs=subs(vv,'m','sigma') 运行结果为

vs =

[ 1, 1, 1]

[ -(c+(m)-a)/(c-b), -(c-(m)-a)/(c-b), 1]

[ -(a-(m)-b)/(c-b), -(a+(m)-b)/(c-b), 1]

再用m替换d中的表达子式

dd=subexpr(d);

ds=subs(dd,’m’,’sigma’)

运行结果为ds =

[ (m), 0, 0]

[ 0, -(m), 0]

[ 0, 0, c+a+b]

note 求特征值也可用以下命令

f=poly(A) poly函数用来求A的特征多项式

d=solve(f) solve（f）函数用来求多项式的解

svd( )函数求矩阵的奇异值分解，将矩阵分解为两个正交矩阵和对角矩阵的乘积

a=sym(hilb(2))

[u,s,v]=svd(a)

代数方程和方程组

代数方程的求解可用solve(f)命令，如果f不含＝，matlab将给表达式置零。方程的未知量在默认的情况下由findsym决定或显式指出

syms a b c x

solve(a*x^2+b*x+c) 以x为默认变量

solve(a*x^2+b*x+c，a) 指定对a为变量

求含有等号的方程的解（一定要加单引号）

f=solve(‘cos(x)=sin(x)’)

x=solve('exp(x)=tan(x)') 如果不能求得符号解，就计算可变精度解。

求解方程组与单方程类似

解一个三元一次方程

v=solve('a*u^2+v^2','u-v=1','a^2-5*a+6')

结果为v =

a: [4x1 sym] u: [4x1 sym] v: [4x1 sym]

一些常用的符号运算

极限运算limit

limit(f) 求x到0的极限

limit(f,x,a)或limit(f,a) 求x到a的极限

limit(f,a,’left’) limit(f,a,’right’) 求x到a的左极限和右极限

limit(f,inf) 求x趋于无穷的极限

符号求和symsum(s)

symsum(s) 以默认的findsym决定的变量求和

symsum(s,v) 以s中指定的变量v求和

symsum(s,a,b) symsum(s,v,a,b) 从a到b的有限项求和

syms k n

symsum(k) 从0到k求和

symsum(k,0,n-1) 从0到n－1求和

symsum(1/k^2,1,inf) 无限项求和

泰勒级数taylor(f)

taylor(f)表示求f的5阶talor展开，可以增加参数指定展开的阶数（默认式5），也可以对于多元函数指定展开的变量，还可以指定在哪个点展开

syms x t

taylor(exp(-x))

taylor(log(x),6,1) 在1点的6阶taylor展开

taylor(x^t,3,t) 对t的3阶taylor展开

积分变换

fourier变换和逆变换fourier（f）

fourier分析可以将信号转换为不同频率的正弦曲线。可对离散数据进行分析，也可对连续时间系统进行分析，特别在信号和图形处理领域。离散变换（DFT）作用于有限数据的采集，最有效的是快速fourier变换（FFT）

F=fourier(f) 独立变量x，返回关于参数w的函数

F=fourier(f,v) 返回函数F关于符号对象v的函数

F=fourier(f,u,v) 对关于u的函数f进行变换，而不是缺省的w，返回函数F是关于v的函数

syms t v w x

fourier(1/t)

fourier(exp(-t)*sym('Heaviside(t)'),v)

fourier(diff(sym('F(x)')),x,w)

Fourier逆变换

f=ifourier(F) 缺省独立变量w，返回关于x的函数对w进行积分

f=ifourier(F,v) 返回函数f是关于符号对象v的函数，而不是缺省的x

f=ifourier(F,u,v) 是关于u的函数f进行变换，而不是缺省的x，返回函数f是关于v的函数

Laplace变换和逆变换laplace(f)

应用于连续系统（微分方程）中，可以用来求解微分方程的初值问题

laplace(F) 缺省独立变量t，缺省返回关于s的函数L

laplace(F,t) 返回关于t的函数L，而不是缺省的s

laplace(F,w,z) 对函数F的自变量w积分，返回关于z的函数L

逆变换

F=ilaplace(L) 缺省独立变量s，返回关于t的函数F

F=ilaplace(L,y) 返回关于y的函数F，而不是缺省的t

F=ilaplace(L,y,x) 对函数L的自变量y积分，返回关于x的函数F

Z-变换和逆变换ztrans(f) 标量符号f的Z－变换

F=ztrans(f) 缺省独立变量n，返回关于z的函数

F=ztrans(f,w) 返回关于符号变量w的函数F，而不是缺省的z

F=ztrans(f,k,w) 关于k的符号变量作Z－变换返回关于符号变量w的函数

逆变换iztrans(F)

f=iztrans(F) 或(F,k)或 (F,w,k)

符号绘图函数

符号函数简易绘图函数ezplot(f)

f可以包含单个符号变量x的字符串或表达式，默认画图区间（－2pi，2pi），如果f包含x和y，画出的图像是f(x,y)=0的图像，缺省区间是－2pi<x<2pi,-2pi<y<2pi。

Ezplot(f,xmin,xmax)或ezplot(f,[xmin,xmax])绘制在xmin<x<xmax区间上图像

syms x t

ezplot('t*cos(t)','t*sin(t)',[0,4*pi])

绘制符号图像函数fplot(fun,lims,tol,’linespec’,n)

其中lims=[xmin,xmax]或[xmin,xmax,ymin,ymax] tol为指定相对误差，默认0.001 ‘linespec’指定绘图的线型 n指定最少以n＋1个点绘图

[x,y]=fplot(fun,lims,…) 只返回用来绘图的点，并不绘图，可以自己调用plot(x,y)来绘制图形。

syms x

subplot(2,2,1),fplot('humps',[0,1])

f='abs(exp(x*(0:9))*ones(10,1))'

subplot(2,2,2),fplot(f,[0,2*pi])

subplot(2,2,3),fplot('sin(1./x)',[0.01,0.1],1e-3)

matlab绘图

二维图形的绘制

plot 在(x,y)坐标下绘制二维图像支持多个x－y二元结构

plot3 在(x,y,z)坐标下绘制三维图形

loglog 在(x,y)对数坐标下绘制二维图形

semilogx 在x为对数坐标，y为线性坐标的二维坐标中绘图

semilogy 在x为线性坐标，y为对数坐标的二维坐标中绘图

plotyy 在有两个y轴的坐标下绘图

plot用法

plot(x,y,'--rs','linewidth',2,'markeredgecolor','k',...

'markerfacecolor','g','markersize',10)

plotyy用法

plotyy(x1,y1,x2,y2) 以x1为标准，左轴为y轴绘制y1向量，x2为基准，右轴为y轴，绘制y2向量

plotyy(x1,y1,x2,y2,fun) 用字符串fun指定的绘图函数(plot ,semilogx,semilogy,loglog,stem)

plotyy((x1,y1,x2,y2,fun1,fun2)

t=0:pi/20:2*pi;

y=exp(sin(t));

plotyy(t,y,t,y,'plot','stem') stem为二维杆图

[ax,h1,h2]=plotyy(…) 返回左右两y轴的句柄（分别为ax(1) ax(2)，以及在两坐标轴中生成的图形对象的句柄，分别为h1 h2

t=0:900;

A=1000;

a=0.005;

b=0.005;

z2=cos(b*t);

z1=A*exp(-a*t);

[haxes,hline1,hline2]=plotyy(t,z1,t,z2,'semilogy','plot');

axes(haxes(1))

ylabel('semilog plot') 对数坐标

axes(haxes(2))

ylabel('linear plot')

set(hline2,'linestyle','--')

其他二维图形绘图指令

bar(x,y) 二维条形图

hist(y,n) 直方图

histfit(y,n) 带拟和线的直方图，n为直方的个数

stem(x,y) 火柴杆图

comet(x,y) 彗星状轨迹图

compass(x,y) 罗盘图

errorbar(x,y,l,u) 误差限图

feather(x,y) 羽毛状图

fill(x,y,’r’) 二维填充函数以红色填充

pie(x) 饼图

polar(t,r) 极坐标图 r为幅值向量，t为角度向量

t=0:0.1:8*pi;

r=cos(3*t/2)+1/2;

polar(t,r),xlabel('polar 指令')

quiver(x,y) 磁力线图

stairs(x,y) 阶梯图

loglog(x,y) 对数图

semilogx semilogy 半对数图

matlab三维作图

plot3(x,y,z) 三维线条图

t=0:pi/50:15*pi;

plot3(sin(t),cos(t),t,'r*') 与plot相似

v=axis 返回各个轴的范围

text(0,0,0,'origin') 在某个坐标点加入文字

plot3 增加维数可以一次画多个图，使所个二维图形眼一个轴排列

三维网线图的绘制

mesh(x,y,z) 网格图

mesh(x,y,z,c) 四维作图,(x,y,z)代表空间三维，c代表颜色维

mesh(…,’property name’,property value,…) 设置曲面各属性的值

[x,y,z]=sphere(12);

mesh(x,y,z)，hidden off 曲面设置为透明

meshc(x,y,z) 画网格图和基本的等值线图

meshz(x,y,z) 画包含零平面的网格图

waterfall(x,y,z) 与mesh一样，只是在效果上它的网格线只在x轴一个方向出现，呈瀑布状水线

两个变量的标量指令meshgrid(x)或meshgrid(x,y) (p179)

将两个一维向量生成两个二维向量，以便进行z=f(x,y)运算，算出z的所有值，z为x y的标量指令

[X,Y]=meshgrid(x) meshgrid(x,x)的简略式

[X,Y]=meshgrid(x,y)

[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z) 用于三维图形的绘制

[x,y]=meshgrid([-2:0.1:2]);

z=x.*exp(-x.^2-y.^2);

plot3(x,y,z)

surf(x,y,z,c) 着色表面图

surf(x,y,z) 隐含着c=z

surf（z）隐含着x，y的值为surf指令根据z的尺寸自动生成

surfc 画出具有基本等值线的曲面图

surfl 画出一个具有亮度的曲面图

shading flat 网线图的某整条线段或曲面图的某个贴片都着一种颜色

shading interp 某一线段或贴片上各点的颜色由线或片的顶端颜色经线性插值而得

曲面图不能设成网格图那样透明，但需要时，可以在孔洞处将数据设成nun

等高线的绘制

在二维空间绘制等高线contour

contour(x,y,z,n) 绘制n条等值线（n可省略）

contour(x,y,z,v) 在向量v所指定的高度上绘制等高线（可省）

c=contour(x,y,z) 计算等值线的高度值

c=contourc(x,y,z,n) 计算n条等高线的x－y坐标数据

c=contourc(x,y,z,v) 计算向量v所指定的等高线的x－y坐标数据

clabel(c) 给c阵所表示的等高线加注高度标识

clabel(c,v) 给向量v所指定的等高线加注高度标识

clabel(c,’manual’) 借助鼠标给点中的等高线加注高度标识

三维空间绘制等高线contour3(x,y,z)

[x,y,z]=peaks(30);

contour3(x,y,z,16,'g')

二元函数的伪彩图pcolor(x,y,z)

是指令surf的二维等效指令，代表伪彩色，可与contour单色等值线结合画彩色等值线图

[x,y,z]=peaks(30);

pcolor(x,y,z); 伪彩色

shading interp 颜色插值，使颜色平均渐变

hold on,contour(x,y,z,20,'k')... 画等值线

colorbar('horiz') 水平颜色标尺

c=contour(x,y,z,8);

clabel(c) 标注等高线

矢量场图(速度图)quiver

用于描述函数z=f(x,y)在点(x,y)的梯度大小和方向

[X,Y]=meshgrid(x,y) X,Y为Z阵元素的坐标矩阵

[U,V]=gradient(Z,dx,dy) U，V分别为Z对x对y的导数，dx dy是x y方向上的计算步长

quiver(X,Y,U,V,s,’linespec’,’filled’) U，V为必选项，决定矢量场图中各矢量的大小和方向，s为指定所画箭头的大小，缺省时取1,linespec为字符串，指定合法的线形和彩色，filled用于填充定义的绘图标识符

[x,y]=meshgrid(-2:.2:2,-1:.15:1);

z=x.*exp(-y.^2);

[px,py]=gradient(z,.2,.15);

contour(x,y,z);

hold on,quiver(x,y,px,py),axis image

多边形的填色fill(x,y,c)

c定义颜色字符串，可以是’r’,’b’等，也可以用RGB三色表示[r,g,b]值为0-1

图形的四维表现