中立时滞系统MATLAB仿真：中立型DDE求解与案例

编写时滞代码

首先，编写函数来定义方程中的时滞。方程中具有时滞的首项是 y(t2)。

function dy = dely(t,y)

dy = t/2;

end

方程中具有时滞的另一个项是 y′(t-π)。

function dyp = delyp(t,y)

dyp = t-pi;

end

在此示例中，y 和 y′ 分别仅有一个时滞。如果有更多时滞，则您可以将它们添加到这些相同的函数文件中，这样函数将返回向量而不是标量。

注意：所有函数都作为局部函数包含在示例的末尾。

编写方程代码

现在，创建一个函数来编写方程代码。此函数应具有签名 yp = ddefun(t,y,ydel,ypdel)，其中：

t 是时间(自变量)。

y 是解(因变量)。

ydel 包含 y 的时滞。

ypdel 包含 y′=dydt 的时滞。

求解器会自动将这些输入传递给该函数，但是变量名称决定如何编写方程代码。在这种情况下：

ydel→y(t2)

ypdel→y′(t-π)

function yp = ddefun(t,y,ydel,ypdel)

yp = 1 + y - 2*ydel^2 - ypdel;

end

编写历史解代码

接下来，创建一个函数来定义历史解。历史解是时间 t≤t0 的解。

function y = history(t)

y = cos(t);

end

求解方程

最后，定义积分区间 [t0tf] 并使用 ddensd 求解器对 DDE 求解。

tspan = [0 pi];

sol = ddensd(@ddefun, @dely, @delyp, @history, [0,pi]);

对解进行绘图

解结构体 sol 具有字段 sol.x 和 sol.y，这两个字段包含求解器在这些时间点所用的内部时间步和对应的解。但是，您可以使用 deval 计算在特定点的解。

在 0 和 pi 之间以 20 个等距点计算解。

tn = linspace(0,pi,20);

yn = deval(sol,tn);

绘制计算解和历史解对解析解的图。

th = linspace(-pi,0);

yh = history(th);

ta = linspace(0,pi);

ya = cos(ta);

plot(th,yh,tn,yn,'o',ta,ya)

legend('History','Numerical','Analytical','Location','NorthWest')

xlabel('Time t')

ylabel('Solution y')

title('Example of Paul with 1 Equation and 2 Delay Functions')

axis([-3.5 3.5 -1.5 1.5])

局部函数

此处列出了 DDE 求解器 ddensd 为计算解而调用的局部辅助函数。您也可以将这些函数作为它们自己的文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。

function yp = ddefun(t,y,ydel,ypdel) % equation being solved

yp = 1 + y - 2*ydel^2 - ypdel;

end

%-------------------------------------------

function dy = dely(t,y) % delay for y

dy = t/2;

end

%-------------------------------------------

function dyp = delyp(t,y) % delay for y'

dyp = t-pi;

end

%-------------------------------------------

function y = history(t) % history function for t < 0

y = cos(t);

end

%-------------------------------------------

参考

[1] Paul, C.A.H.“A Test Set of Functional Differential Equations.”Numerical Analysis Reports.No. 243.Manchester, UK:Math Department, University of Manchester, 1994.

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