MATLAB非线性规划简单入门：求解方法与案例

非线性规划

1.非线性规划问题

如果目标函数或者约束条件中包含非线性函数，就称这种问题为非线性规划问题。

2.非线性规划的Matlab标准形式及问题求解

   式中：
f(x) 为标量函数；
A，b，Aeq，beq，lb，ub为相应维数的矩阵和向量；

   **c(x),ceq(x)**为非线性向量函数。

   Matlab中的命令是：

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

   式中：
x的返回值是决策向量x的取值；fval返回的是目标函数的取值，其中fun是用M文件定义的函数f(x);x0是x的初始值；
A,b,Aeq,beq定义了线性约束A*x<=b,Aeq*x=beq;

   如果没有线性约束，则A=[ ],b=[ ],Aeq=[ ],beq=[ ];lb和ub是变量x的下界和上界，如果上界和下界没有约束，即x无下界也无上界，则lb=[ ],ub=[ ],也可以写成lb的各变量都为 -inf，ub的各变量都为inf；
nonlcon是用M文件定义的非线性向量函数c(x)，ceq(x);
options定义了优化参数，可以使用Matlab默认的参数设置。
fmincon的初始值x0可以任意取，只要保证为实数就行。

   具体解释：《MATLAB fmincon 的初值x0的选取问题》

   链接: https://blog.csdn.net/lcp201281095/article/details/79801822.

3.非线性规划例题

例1：求下列非线性规划：

解：（1）编写M函数fun1.m定义目标函数：

function f =fun1(x);
f=sum(x.^2)+8

（2）编写M函数fun2.m定义非线性约束条件：

function [g,h]=fun2(x);
g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
	x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];%非线性不等式约束
h=[-x(1)-x(2)^2+2
	x(2)+2*x(3)^2-3];%非线性等式约束

（3）编写主程序文件如下：

[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fun2')

其中fmincon中的 rand(n,m) 是产生由在(0, 1)之间均匀分布的随机数组成的数组。用法：1.rand(2,3)，则会得到一个2行3列的在1以内的随机矩阵。2.rand(3)，则会得到一个3行3列的随机方阵。3.rand(size(A)) 返回一个和A矩阵有相同尺寸的随机矩阵。

程序运行结果：

求得当x1=0.5522，x2=1.2033，x3=0.9478时，最小值y=10.6511

例2：求下列非线性规划问题。

解：（1）编写m文件，定义目标函数：

function f=fun44(x)
f=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4)));

（2）编写m文件，定义约束条件：

function [g,ceq]=myconl(x)
g(1)=x(1)-400;
g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;
g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;
g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;
ceq=0;

（3）编写主程序，即可编写m文件也可以在命令窗口直接输入命令：

x0=[1,1,1,1];
lb=[0,0,0,0];
ub=[];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];
[x,fval]=fmincon('fun44',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'myconl');
x,fval=-fval

程序运行结果：


   求得的最优解为x1=86.1883，x2=104.2878，x3=126.1883，x4=152.6879，对应的最优值为z=43.0860

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