ABAQUS材料子程序学习：线性各向同性硬化塑性

ABAQUS材料子程序学习（线性各向同性硬化塑性）

• 前言
• 塑性力学增量形式实现 umat子程序 参数 计算结果

前言

记录自己学习abaqus软件umat子程序的t过程，本文主要参考了《非线性本构关系在ABAQUS中的实现》第四章和 技术 邻的视频课程“非线性各向同性强化弹塑性umat子程序教程”

塑性力学增量形式实现

计算过程中，体应变和体应力是弹性关系 Δ σ v = K ⋅ Δ ε v (1) {Δσ_v}={K}\cdot{Δε_v}\tag{1} Δσv​=K⋅Δεv​(1)

K K K为体积模量， K = E 3 ( 1 − ν ) K=\cfrac{E}{3(1-ν)} K=3(1−ν)E​ ,  Δ ε v = Δ ε 11 + Δ ε 22 + Δ ε 33 Δε_v=Δε_{11}+Δε_{22}+Δε_{33} Δεv​=Δε11​+Δε22​+Δε33​

所以在下面的讨论中只考虑偏应力张量和偏应力张量

试应力：  σ t r ′ ( t ) = σ ′ ( t ) + C ′ : Δ ε ′ (2) \bm{σ^{tr'}(t)=σ'(t)+\mathbb{C'}:Δε'}\tag{2} σtr′(t)=σ′(t)+C′:Δε′(2)

viogt表记：
{ σ 11 t r ′ σ 22 t r ′ σ 33 t r ′ σ 12 t r ′ σ 23 t r ′ σ 13 t r ′ } = { σ ′ 11 ( t ) σ ′ 22 ( t ) σ ′ 33 ( t ) σ ′ 12 ( t ) σ ′ 23 ( t ) σ ′ 13 ( t ) } + [ 2 G 0 0 0 0 0 0 2 G 0 0 0 0 0 0 2 G 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G ] ⋅ { Δ ε ′ 11 ( t ) Δ ε ′ 22 ( t ) Δ ε ′ 33 ( t ) Δ γ 12 ( t ) Δ γ 23 ( t ) Δ γ 13 ( t ) } \left \{

σ𝑡𝑟′11σ𝑡𝑟′22σ𝑡𝑟′33σ𝑡𝑟′12σ𝑡𝑟′23σ𝑡𝑟′13       σ   11   t r′         σ   22   t r′         σ   33   t r′         σ   12   t r′         σ   23   t r′         σ   13   t r′       \right \} =\left \{

σ′11(𝑡)σ′22(𝑡)σ′33(𝑡)σ′12(𝑡)σ′23(𝑡)σ′13(𝑡)        σ ′   11   ( t )        σ ′   22   ( t )        σ ′   33   ( t )        σ ′   12   ( t )        σ ′   23   ( t )        σ ′   13   ( t )     \right \} +\left [

2𝐺0000002𝐺0000002𝐺000000𝐺000000𝐺000000𝐺     2 G   0   0   0   0   0     0   2 G   0   0   0   0     0   0   2 G   0   0   0     0   0   0   G   0   0     0   0   0   0   G   0     0   0   0   0   0   G     \right ] \cdot \left \{

Δε′11(𝑡)Δε′22(𝑡)Δε′33(𝑡)Δγ12(𝑡)Δγ23(𝑡)Δγ13(𝑡)        Δ   ε ′   11   ( t )        Δ   ε ′   22   ( t )        Δ   ε ′   33   ( t )        Δ   γ    12   ( t )        Δ   γ    23   ( t )        Δ   γ    13   ( t )     \right \} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​σ11tr′​σ22tr′​σ33tr′​σ12tr′​σ23tr′​σ13tr′​​⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫​=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​σ′11​(t)σ′22​(t)σ′33​(t)σ′12​(t)σ′23​(t)σ′13​(t)​⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫​+⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​2G00000​02G0000​002G000​000G00​0000G0​00000G​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​⋅⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​Δε′11​(t)Δε′22​(t)Δε′33​(t)Δγ12​(t)Δγ23​(t)Δγ13​(t)​⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫​

  静态分析umat用的工程应变： { Δ ε ′ 11 ( t ) Δ ε ′ 22 ( t ) Δ ε ′ 33 ( t ) Δ γ 12 ( t ) Δ γ 23 ( t ) Δ γ 13 ( t ) } = { Δ ε ′ 11 ( t ) Δ ε ′ 22 ( t ) Δ ε ′ 33 ( t ) 2 Δ ε ′ 12 ( t ) 2 Δ ε ′ 23 ( t ) 2 Δ ε ′ 13 ( t ) } \left \{   Δε′11(𝑡)Δε′22(𝑡)Δε′33(𝑡)Δγ12(𝑡)Δγ23(𝑡)Δγ13(𝑡)        Δ   ε ′   11   ( t )        Δ   ε ′   22   ( t )        Δ   ε ′   33   ( t )        Δ   γ    12   ( t )        Δ   γ    23   ( t )        Δ   γ    13   ( t )      \begin{matrix} {Δε'}_{11}(t)\\ {Δε'}_{22}(t)\\{Δε'}_{33}(t)\\{Δγ}_{12}(t)\\{Δγ}_{23}(t)\\{Δγ}_{13}(t)\end{matrix} \right \} = \left \{   Δε′11(𝑡)Δε′22(𝑡)Δε′33(𝑡)2Δε′12(𝑡)2Δε′23(𝑡)2Δε′13(𝑡)        Δ   ε ′   11   ( t )        Δ   ε ′   22   ( t )        Δ   ε ′   33   ( t )       2  Δ   ε ′   12   ( t )       2  Δ   ε ′   23   ( t )       2  Δ   ε ′   13   ( t )      \begin{matrix} {Δε'}_{11}(t)\\ {Δε'}_{22}(t)\\{Δε'}_{33}(t)\\{2Δε'}_{12}(t)\\{2Δε'}_{23}(t)\\{2Δε'}_{13}(t)\end{matrix} \right \} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​Δε′11​(t)Δε′22​(t)Δε′33​(t)Δγ12​(t)Δγ23​(t)Δγ13​(t)​⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫​=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​Δε′11​(t)Δε′22​(t)Δε′33​(t)2Δε′12​(t)2Δε′23​(t)2Δε′13​(t)​⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫​

Mises等效应力：

主应力形式：
σ e = { 1 2 [ ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 + ( σ 3 − σ 1 ) 2 ] } 1 2 {σ_e}=\left \{ \frac{1}{2} \left [ \left (\sigma_1- \sigma_2 \right )^2+ \left (\sigma_2- \sigma_3 \right )^2+\left (\sigma_3- \sigma_1 \right )^2 \right ] \right \}^{\frac{1}{2}} σe​={ 21​[(σ1​−σ2​)2+(σ2​−σ3​)2+(σ3​−σ1​)2]}21​

偏应力形式:
σ e = [ 3 2 ( σ 11 ′ 2 + σ 22 ′ 2 + σ 33 ′ 2 + 2 σ 12 2 + 2 σ 23 2 + 2 σ 13 2 ) ] 1 2 (3) {σ_e}= \left [{\frac{3}{2}} \left ({\sigma'_{11}}^2+ {\sigma'_{22}}^2+{\sigma'_{33}}^2+2{\sigma_{12}}^2+2{\sigma_{23}}^2+2{\sigma_{13}}^2\right )\right ]^{\frac{1}{2}}\tag{3} σe​=[23​(σ11′​2+σ22′​2+σ33′​2+2σ12​2+2σ23​2+2σ13​2)]21​(3)

其中:  σ 11 ′ = σ 11 − σ v \sigma'_{11}=\sigma_{11}-\sigma_{v} σ11′​=σ11​−σv​ ， σ 22 ′ = σ 22 − σ v \sigma'_{22}=\sigma_{22}-\sigma_{v} σ22′​=σ22​−σv​，  σ 33 ′ = σ 33 − σ v \sigma'_{33}=\sigma_{33}-\sigma_{v} σ33′​=σ33​−σv​；  σ v = 1 3 [ σ 11 + σ 22 + σ 33 ] \sigma_{v}=\frac{1}{3} \left [\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33} \right] σv​=31​[σ11​+σ22​+σ33​]

Mises等效塑性应变增量：
Δ ε ˉ p = 2 3 [ ( Δ ε 1 p − Δ ε 2 p ) 2 + ( Δ ε 2 p − Δ ε 3 p ) 2 + ( Δ ε 3 p − Δ ε 1 p ) 2 ] 1 2 Δ\bar{ε}^p=\frac{\sqrt{2}}{3} \left[ \left(Δε_{1}^p-Δε_{2}^p \right)^2 +\left(Δε_{2}^p-Δε_{3}^p \right)^2 +\left(Δε_{3}^p-Δε_{1}^p \right)^2\right]^{\frac{1}{2}} Δεˉp=32   ​​[(Δε1p​−Δε2p​)2+(Δε2p​−Δε3p​)2+(Δε3p​−Δε1p​)2]21​

线性硬化塑性 σ y = σ y 0 + h ε ˉ p (4) {σ_y}={σ_{y0}}+h\bar{ε}^p\tag{4} σy​=σy0​+hεˉp(4)

   初始屈服加上等效塑性应变乘以硬化系数。

   等效塑性变形作为状态变量存在STATEV(NSTATV)中，提取  ε ˉ p \bar{ε}^p εˉp 并计算当前的屈服应力  σ y {σ_y} σy​

(2)代入(3)，计算试应力的等效Mises应力 σ M i s e s t r {σ}_{Mises}^{tr} σMisestr​

判断  σ M i s e s t r {σ}_{Mises}^{tr} σMisestr​ 与  σ y {σ_y} σy​ 关系:

若  σ M i s e s t r ＜ σ y {σ}_{Mises}^{tr}＜{σ_y} σMisestr​＜σy​ ：  σ ( t + Δ t ) = σ t r ( t ) \bm{σ(t+Δt)}=\bm{σ^{tr}(t)} σ(t+Δt)=σtr(t)

一致切线刚度矩阵，为弹性刚度矩阵
D D S D D E ( i , j ) = [ 2 G + λ λ λ 0 0 0 λ 2 G + λ λ 0 0 0 λ λ 2 G + λ 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G ] (5) \bm{DDSDDE}(i,j) =\left [

2𝐺+λλλ000λ2𝐺+λλ000λλ2𝐺+λ000000𝐺000000𝐺000000𝐺     2 G +  λ     λ     λ    0   0   0      λ    2 G +  λ     λ    0   0   0      λ     λ    2 G +  λ    0   0   0     0   0   0   G   0   0     0   0   0   0   G   0     0   0   0   0   0   G     \right ]\tag{5} DDSD

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