HFSS超导谐振腔设计与仿真实战

摘要

谐振腔是人类常用的一种事物。本篇笔记主要介绍两种类型的谐振腔：共面波导谐振腔(Coplanar Waveguide Resonator)和超导射频腔(Superconducting Radio Frequency Cavity)。记录设计谐振腔时考虑的参数，以及使用HFSS进行仿真验证。

下面我针对这两类谐振腔，先简述它们的基本原理，最后再使用HFSS工具进行仿真模拟。

两种类型的谐振腔

谐振腔的物理本质就是一个简谐震荡系统，类似于弹簧小球组成的系统。我们可以通过电路、金属腔体等方式来加工制备出谐振腔，其中，使用超导材料制备的谐振腔一般被称为超导谐振腔。材料的超导特性可以极大地降低谐振系统的阻尼损耗，在超导量子计算 、超导加速器、量子探测等领域被广泛应用。

共面波导谐振腔(2D)

共面波导谐振腔是一种使用共面波导结构制备的谐振腔，常见的形式有 $\lambda/4$\lambda/4 谐振腔（一端开路，一端短路）和 $\lambda/2$\lambda/2 谐振腔（两端都开路）。

首先我们先回顾一下共面波导结构。

在超导量子芯片中，我们常见的传输线是共面波导的结构，如上图所示。在设计共面波导结构的时候，我们需要确定它的尺寸如何影响单位长度的电容与单位长度的电感。以下推导主要参考《Coplanar Waveguide Circuits, Components, and Systems》一书中的第四章内容 Coplanar Waveguide with Finite-Width Ground Planes。

对于一个单层的共面波导情况，即在一块衬底上制备出共面波导结构，中心导体的宽度为 $W$W ，中心导体到两侧地的距离为 $G$G ，两侧地的宽度为 $P$P ，金属薄膜的厚度为 $T$T ，蓝宝石衬底的厚度为 $h$h ，其相对介电常数为 $\epsilon_r$\epsilon_r 。我们定义一些尺寸参数：

$\begin{align*} a &= \frac{W}{2}\\ b &= \frac{W+2G}{2}\\ c &= \frac{W+2G+2P}{2} \end{align*}$\begin{align*} a &= \frac{W}{2}\\ b &= \frac{W+2G}{2}\\ c &= \frac{W+2G+2P}{2} \end{align*}

此时的共面波导结构，单位长度的电容 $c$c 可以分解为两部分：没有电介质存在的情况下的电容，电场只存在于电介质时的电容。

$c = c_0+c_{sub}$$$c = c_0+c_{sub}$$

第一部分，没有电解质存在时的电容为：

$c_0=4\epsilon_0\frac{K(k_0^\prime)}{K(k_0)}$$$c_0=4\epsilon_0\frac{K(k_0^\prime)}{K(k_0)}$$

其中， $\epsilon_0$\epsilon_0 是真空介电常数， $K$K 为第一类完全椭圆积分， $k_0$k_0 和 $k_0^\prime$k_0^\prime 取决于结构的尺寸：

$\begin{align*} k_0 &= \frac{c}{b}\sqrt{\frac{b^2-a^2}{c^2-a^2}}\\ k_0^\prime &= \sqrt{1-k_0^2} \end{align*}$\begin{align*} k_0 &= \frac{c}{b}\sqrt{\frac{b^2-a^2}{c^2-a^2}}\\ k_0^\prime &= \sqrt{1-k_0^2} \end{align*}

此时公式中出现的 $a,b,c$a,b,c 为我们上面定义的尺寸参数（发现两个c重复了，懒得改了，以后再说。。。）。

第二部分，假设电场只存在于电介质层中。

$c_{sub}=2\epsilon_0(\epsilon_r-1)\frac{K(k_{sub}^\prime)}{K(k_{sub})}$$$c_{sub}=2\epsilon_0(\epsilon_r-1)\frac{K(k_{sub}^\prime)}{K(k_{sub})}$$

其中，

$\begin{align*} k_{sub} &= \frac{sinh(\pi c/2h)}{sinh(\pi b/2h)}\sqrt{\frac{sinh^2(\pi b/2h)-sinh^2(\pi a/2h)}{sinh^2(\pi c/2h)-sinh^2(\pi a/2h)}}\\ k_{sub}^\prime &= \sqrt{1-k_{sub}^2} \end{align*}$\begin{align*} k_{sub} &= \frac{sinh(\pi c/2h)}{sinh(\pi b/2h)}\sqrt{\frac{sinh^2(\pi b/2h)-sinh^2(\pi a/2h)}{sinh^2(\pi c/2h)-sinh^2(\pi a/2h)}}\\ k_{sub}^\prime &= \sqrt{1-k_{sub}^2} \end{align*}

此时，等效的总介电常数为

$\epsilon_{eff}=\frac{c}{c_0}\approx\frac{1+\epsilon_r}{2}$$$\epsilon_{eff}=\frac{c}{c_0}\approx\frac{1+\epsilon_r}{2}$$

等效介质中光速为

$\nu_{ph}=\frac{\nu_c}{\sqrt{\epsilon_{eff}}}$$$\nu_{ph}=\frac{\nu_c}{\sqrt{\epsilon_{eff}}}$$

其中， $\nu_c=3\times10^8~m/s$\nu_c=3\times10^8~m/s 是真空中的光速。

则共面波导的特征阻抗为

$Z_0 = \frac{1}{c\nu_{ph}}=\frac{30\pi}{\sqrt{\epsilon_{eff}}}\frac{K(k_0)}{K(k_0^\prime)}$$$Z_0 = \frac{1}{c\nu_{ph}}=\frac{30\pi}{\sqrt{\epsilon_{eff}}}\frac{K(k_0)}{K(k_0^\prime)}$$

其中，这个 $c$c 是指单位长度的电容。

根据阻抗关系，单位长度的电感为

$l = Z_0^2c$$$l = Z_0^2c$$

计算结果如下图所示：

对于上图中用到的一组典型参数，中心导体 $W=10~\mu m$W=10~\mu m ，两侧间距为 $G=5~\mu m$G=5~\mu m ，蓝宝石衬底厚度为 $h=450~\mu m$h=450~\mu m 的情况，共面波导单位长度的电容为 $c = 1.45\times10^{-10}~F/m$c = 1.45\times10^{-10}~F/m ，单位长度的电感为 $l=4.13\times10^{-7}~H/m$l=4.13\times10^{-7}~H/m 。

当然，现在网上有很多阻抗计算器与微波工程计算器之类的小工具，我们可以使用计算器方便地计算特征阻抗，如下图所示：

再多说一些，上面我们是通过阻抗关系来得到单位长度电感值，其实，我们也可以直接计算得到单位长度的电感值。对于超导材料制备的共面波导结构，它的单位长度电感有两部分贡献组成：一种是由于超导体中配对的载流子的惯性导致的动力学电感(kinetic inductance, $L_k$L_k )或内部电感，另一部分来自于磁通连接的外部电感 (external inductance, $L_e$L_e )。

$l = L_k+L_e$$$l = L_k+L_e$$

其中，单位长度的动力学电感为

$L_k=\mu_0\lambda_L(T)\frac{C}{4ADK(k)}\left\{\frac{1.7}{sinh(h/2\lambda_L)}+\frac{0.4}{\sqrt{[(B/A)^2-1][1-(B/D)^2]}}\right\}$$$L_k=\mu_0\lambda_L(T)\frac{C}{4ADK(k)}\left\{\frac{1.7}{sinh(h/2\lambda_L)}+\frac{0.4}{\sqrt{[(B/A)^2-1][1-(B/D)^2]}}\right\}$$

其中，

$\begin{align*} A&=-\frac{h}{\pi}+\frac{1}{2}\sqrt{(\frac{2h}{\pi})^2+W^2}\\ B&=\frac{W^2}{4A}\\ C&=B-\frac{h}{\pi}+\sqrt{(\frac{h}{\pi})^2+G^2}\\ D&=\frac{2h}{\pi}+C \end{align*}$\begin{align*} A&=-\frac{h}{\pi}+\frac{1}{2}\sqrt{(\frac{2h}{\pi})^2+W^2}\\ B&=\frac{W^2}{4A}\\ C&=B-\frac{h}{\pi}+\sqrt{(\frac{h}{\pi})^2+G^2}\\ D&=\frac{2h}{\pi}+C \end{align*}

朗道穿透深度 为

$\lambda_L(T)=\sqrt{\frac{\lambda_L^2(0)}{1-(T/T_c)^4}}$$$\lambda_L(T)=\sqrt{\frac{\lambda_L^2(0)}{1-(T/T_c)^4}}$$

其中， $T_c$T_c 为超导临界转变温度。

另一方面，单位长度的外部电感为

$L_e=\frac{\mu_0}{4}\frac{K(k^\prime)}{K(k)}$$$L_e=\frac{\mu_0}{4}\frac{K(k^\prime)}{K(k)}$$

其中，

$\begin{align*} k&=\frac{W}{W+2G}\\ k^\prime&=\sqrt{1-k^2} \end{align*}$\begin{align*} k&=\frac{W}{W+2G}\\ k^\prime&=\sqrt{1-k^2} \end{align*}

实验上，对超导共面波导谐振腔的测试结果一般是下图这样的。随着温度逐渐降低，朗道穿透深度逐渐降低，动力学电感减小，谐振腔频率变高。

到这里，共面波导结构的部分说完了。接下来，我们开始探究下使用共面波导结构设计的共面波导谐振腔。

超导量子芯片中通常使用共面波导结构的谐振腔对量子比特进行读取，一般有 $\lambda/4$\lambda/4 谐振腔（一端开路，一端短路）和 $\lambda/2$\lambda/2 谐振腔（两端开路）。

这里我们用 $\lambda/4$\lambda/4 谐振腔举例。

对上图电路分析（这部分理论推导后续看情况补充，这里只说结论）之后，我们得到长度为 $D$D 的谐振腔的等效电感和等效电容。

等效电感：

$L=\frac{8Dl}{\pi^2}$$$L=\frac{8Dl}{\pi^2}$$

等效电容：

$C=\frac{Dc}{2}$$$C=\frac{Dc}{2}$$

谐振腔的频率为：

$\omega_0\approx\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{2\pi}{4D\sqrt{lc}}$$$\omega_0\approx\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{2\pi}{4D\sqrt{lc}}$$

到此为止，我们通过设计共面波导谐振腔的尺寸（长度、中心导体宽度、Gap宽度等），就可以得到想要频率的谐振腔。

超导射频腔(3D)

3D类型的超导射频腔被广泛应用在加速器、量子计算、量子存储等领域。相比于二维类型的共面波导形式的谐振腔，3D腔的电磁模式主要分布在真空当中，搭配先进的表面打磨工艺，可以做到极高的Q值（ $\sim10^{10}$\sim10^{10} ）。

共面波导谐振腔的仿真

接下来，我们就根据上一节的原理设计一个共面波导谐振腔，并使用HFSS的本征模式 进行仿真验证。

在我其他专栏中，有一些使用python工具仿真共面波导谐振腔的笔记，可以参考：

在本节中，我们就手动设计一个谐振腔，进行理论计算，并加以电磁仿真来验证。

CPW谐振腔理论设计与版图绘制

我们设计一根长度为 $5384~\mu m$5384~\mu m 的 $\lambda/4$\lambda/4 共面波导谐振腔，中心导体宽度为 $10~\mu m$10~\mu m ，两侧到地的距离为 $5~\mu m$5~\mu m ，通过理论计算，预计谐振腔的频率在 $6$6 GHz左右。然后，使用python代码调用gdspy包设计出来的谐振腔，生成.gds文件，随后用Klayout软件查看生成的版图文件，如下图所示：

（关于gdspy和Klayout的使用可以自行去浏览器检索，应该有很多参考资料，以后有空了我会整理进来。。。）目前比较推荐qiskit-metal提供的自动化python代码工具，可以参考：

HFSS建模与设置

接下里，打开Ansys HFSS软件，新建一个Project，在该工程下插入一个HFSS Design，设置求解模式为Eigenmode。然后，使用主菜单栏Modeler中的选项，导入谐振腔的版图文件，因为导入的图形是许多多边形拼接而成的，所以为了后续操作方便，我们讲这些导入图形进行合并(Unite)，最终我们得到一个平面；然后画出衬底(Substrate)和外部的空气盒子，指定衬底的材料为蓝宝石(Sapphire)，指定空气盒子为真空(Vacuum)，将空气盒子的透明度调整为1；然后，选中导入的谐振腔表面，指定边界条件为PerfE，理想导体边界条件；为了加速求解收敛，可以对表面设置Mesh网格剖分；最后，在Analysis中添加求解设置，设置Minimum Frequency为1 GHz，Number of Modes为1，Maximum Number of Passes为6，Maximum Delta Frequency Per Pass为1%。到此为止仿真设置已经完毕，如下图所示，接下来开始仿真，等待仿真结束。

查看求解结果与场分布

随后，查看本征模的求解结果，如下图所示，仿真得到频率为 $5.97178$5.97178 GHz，仿真结果与理论计算基本一致，其中的误差主要有求解精度、实际的传输线结构并不是真正完美的共面波导等。

最后，可以查看谐振腔的场分布。

超导射频腔的仿真

超导射频谐振腔（SRF cavity）通常用于加速器研究领域，通常由铌（Nb）金属制备而成，目前，主流的谐振腔结构为椭球腔(Single-cell, Multi-cell等)。接下来，我们使用Ansys HFSS软件对一个标准的椭球腔进行仿真模拟。

在HFSS中建模

如上图所示，虽然它的名字叫做椭球腔，但是它并不是一个标准的三轴椭球，而是通过一些旋转对称的操作得到的三维结构。并且，为了满足加速需求以及方便清洗等，椭球两侧还有长长的竖管部分（Tube）。

打开HFSS软件，新建Project，在其中插入新的Design，设置求解类型为Eigenmode，默认单位设置为mm。

首先，添加设计变量。点击菜单栏HFSS→Design properties...打开如下界面，点击Add...输入要用到的设计变量。

然后，在HFSS中构建最初的基本图形。根据上述参数，画出最基本的长方形、半圆、椭圆以及切线，如下图所示。

然后，经过一系列布尔操作，镜像，旋转，最终得到一个椭球腔三维结构。

指定边界条件

接下来，选中创建的椭球腔，设置它的Material为真空(Vaccum)，模拟真空的腔体。

然后，选中椭球腔，右键→Assign Boundary→Finite Conductivity...，指定有限导体边界条件（Finite Conductivity Boundary），设置表面的电导率为1e20 Siemens/m，来模拟Nb超导腔在超导状态下的电导率。

添加求解设置

在Project Manager当前的Design下，找到Analysis，右键→Add Solution Setup...，打开如下界面。

如上图所示，我们设置了最小频率(Minimum Frequency)为1GHz，意味着让HFSS寻找大于1GHz频率的本征模解；求解数量(Number of Modes)为6，意味着它会找出大于最小频率的6个本征模式解；最大迭代次数(Maximum Number of Passes)为6，意味着最多迭代6次计算；收敛标准(Maximum Delta Frequency Per Pass)为1%，意味着当两次迭代计算相差低于1%时，停止计算，若不收敛，最大迭代次数后结束。

此时我们添加了一个名为Setup1的分析，右键→Analyze。

查看求解结果

等待计算结束，在Message Manager窗口中弹出：

    [info] Normal completion of simulation on server: Local Machine. (07:11:15 PM  Apr 08, 2024)

表明计算已经收敛结束。

在Project Manager中找到Results，右键→Solution Data...打开如下窗口。

可以看到，HFSS找出了6个本征模式。

点击Convergence标签，可以查看迭代计算的收敛情况。

查看模式场分布

选中腔体，右键→Plot fields→E→Vector E，可以绘制出谐振腔中电场的矢量分布图。

从上面的本征模计算中，我们得到第一个模式频率约为1.3GHz，这个模式时加速器应用中常用的一个经典频率。

我们也可以查看某个平面上的场强分布。

使用pyEPR工具进行计算

导出场数据