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以下理论内容来源于赵少汴老师的《抗疲劳设计手册》，如想详细学习建议看书。本文编辑于语雀，推荐阅读语雀文档，格式显示会好一点，链接放在文章最下面。
平均拉应力使疲劳强度和寿命降低，平均压应力使疲劳强度和寿命增加。
对于平均拉应力的影响，许多学者提出了不同的极限应力线，其中主要的有如下几种：
（１）Gerber 抛物线
\sigma _{a}=\sigma _{-1}\left [ 1-\left ( \frac{\sigma _{m}}{\sigma _{b}} \right )^{2} \right ]
（ 2 ）Goodman直线
\sigma _{a}=\sigma _{-1}\left ( 1-\frac{\sigma _{m}}{\sigma _{b}} \right )
（ 3 ）Soderberg直线
\sigma _{a}=\sigma _{-1}\left ( 1-\frac{\sigma _{m}}{\sigma _{s}} \right )
（ 4 ）Smith 曲线
\sigma _{a}=\sigma _{-1}\left ( \frac{1-\sigma _{m}/\sigma _{b}}{1+\sigma _{m}/\sigma _{b}} \right )
（５）Серенсен折线
－１＜Ｒ＜０时：
\sigma _{a}=\sigma _{-1}-\psi _{\sigma }\sigma _{m}
Ｒ＞０时：
\sigma _{a}=\frac{\sigma _{0}(1+\psi _{b}')}{2}-\psi _{b}'\sigma _{m}
式中
σａ———疲劳极限振幅（ＭＰａ）；
σｍ———平均应力（ＭＰａ）；
σ－１———对称循环下的疲劳极限（ＭＰａ）；
σｂ———抗拉强度（ＭＰａ）；
σｓ———屈服强度（ＭＰａ）；
σ０———脉动循环下的疲劳极限（ＭＰａ）；
ψσ———平均应力影响系数；
ψσ′———应力比Ｒ＞０部分的平均应力影响系数。
Серенсен折线中的平均应力影响系数计算公式为：
\psi _{\sigma }=\frac{2\sigma _{-1}-\sigma _{0}}{\sigma _{0}},\psi _{\sigma }'=\frac{\sigma _{0}}{2\sigma _{b}-\sigma _{0}}
这些极限应力线都反映了疲劳极限振幅随平均拉应力的增加而减小的疲劳试验结果。研究结果表明，光滑试样的试验数据符合于Ｇerber抛物线和Серенсен折线，缺口试样的试验数据符合于Ｇoodman直线，而对存在有微动磨损的接头，则应使用更保守的Ｓoderberg直线或Ｓmith曲线。
由于疲劳破坏多发生在缺口处，而且Ｇoodman直线使用方便，因此在抗疲劳设计中多使用Ｇoodman直线，而将Ｇoodman直线的负斜率称为平均应力影响系数，其表达式为：
\psi _{\sigma }=\frac{\sigma _{-1}}{\sigma _{b}}
这里需要注意的是，抗疲劳设计中所用的平均应力影响系数为用上式计算出的光滑试样的平均应力影响系数ψσ，而非缺口试样的平均应力影响系数ψσＫ，ψσＫ的计算公式为：
\psi _{\sigma K}=\frac{\sigma _{-1K}}{\sigma _{b}}
只有在利用下式进行抗疲劳设计时才需要使用ψσＫ：
n = \frac{\sigma _{-1D}}{\sigma _{a}+\psi _{\sigma K}\sigma _{m}} \geq \left [ n \right ]
由于结构中都不允许产生宏观屈服，因此，对上述极限应力线还需附加以如下的屈服条件：
\sigma _{max}= \sigma _{m}+\sigma _{a}\leq \sigma _{s}
这时，使用Goodman直线时的疲劳极限线图如图所示。
平均压应力使极限应力幅增大。上面所述的５种疲劳极限曲线图都不能反映极限应力幅随压缩平均应力的增大而增大的现象。
书中这部分内容介绍的相对简单，有兴趣可看书。
光滑试样扭转平均应力的影响如图所示，τｍ 增加时，τａ并不降低。而缺口试样扭转平均应力线的影响如图所示，符合于Ｇｏｏｄｍａｎ直线。因此缺口试样的ψτＫ可用下
式计算：
\psi _{\tau K}=\frac{\tau _{-1K}}{\tau _{bt}}
式中，τｂｔ为抗扭强度。当缺乏τｂｔ的数据时，对钢可取τｂｔ＝０.８σｂ，对非铁金属可取τｂｔ＝０.７σｂ。
以下理论来自nCode的帮助文档
The main feature of a stress cycle that affects fatigue damage is its range. Fatigue damage is also influenced by the mean stress of each cycle. Mean stress correction methods allow the effect of mean stress to be modeled and taken into account in the life prediction. This section describes the different methods supported. Whether or not a particular mean stress correction method can be applied depends upon the formulation of the S-N data (SNMethod) that is being used. The allowable combinations are detailed in the table below:
影响疲劳损伤的应力循环的主要特征是其范围。疲劳损伤也受每个周期的平均应力的影响。平均应力校正方法允许对平均应力的影响进行建模，并在寿命预测中加以考虑。本节描述支持的不同方法。是否可以采用特定的平均应力修正方法取决于所使用的S-N数据(SNMethod)的公式。允许组合如下表所示:
Each of the mean stress correction methods is described below.
每一种平均应力校正方法如下所述。
Mean stress is not taken into account. This can work with all S-N data types, but if it is to function with MultiMeanCurve or MultiRRatioCurve data, the material dataset must include datasets corresponding to zero mean or R = -1, otherwise an error message is issued. If a standard SN curve is used, no account is taken of the RR value for that curve; it is used as-is.
平均应力没有考虑在内。这可以处理所有的S-N数据类型，但如果要处理MultiMeanCurve（多平均应力曲线）或MultiRRatioCurve（多应力比曲线）数据，则材料数据集必须包含对应于零均值或R = -1的数据集，否则将发出错误消息。如果使用标准SN曲线，则不考虑该曲线的RR值;它是按原样使用的。
The Goodman mean stress correction calculates an effective stress amplitude based on the mean stress and UTS of each cycle. Again, this can work with all S-N data types, but if it is to function with MultiMeanCurve or MultiRRatioCurve data, the material dataset must include datasets corresponding to zero mean or R = -1, otherwise an error message is issued.
Goodman平均应力修正基于每个周期的平均应力和UTS计算有效应力幅值。同样，这可以用于所有的S-N数据类型，但如果它是用于多应力比曲线或多平均应力曲线数据，材料数据集必须包含对应于零均值或R = -1的数据集，否则将发出错误消息。
In its original form, it is used to calculate an effective stress Se that can be compared to an R = -1 S-N curve, based on the stress amplitude Sa, mean stress Sm and the material UTS:
其原始形式是根据应力幅值Sa、平均应力Sm和材料UTS计算有效应力Se，可与R = -1 S-N曲线进行比较:
\frac{S_{a}}{S(R=-1)}+\frac{S_{m}}{UTS}=1
In DesignLife, this has been extended to allow the equivalent stress to be determined for any R-ratio:
在DesignLife中，这已经扩展到允许对任何应力比确定等效应力：
S_{e}(RR)=S_{a}\frac{UTS}{UTS-S_{m}+S_{a}(1+RR)/(1-RR)}
This is illustrated below:
如下图所示：
The Goodman correction in the form described above can be rather non-conservative for cycles with compressive mean stresses.GoodmanTensionOnly addresses this by flattening off the constant life curve when the mean stress is compressive,as illustrated below:
上述形式的Goodman校正可以是非保守的对于具有压缩平均应力的循环。GoodmanTensionOnly通过在平均应力是压缩时使恒定寿命曲线变平来解决这个问题，如下图所示:
The Gerber correction in its original form is similar to Goodman, except that the second term is squared:
Gerber校正的原始形式与Goodman相似，除了第二项是平方:.
\frac{S_{a}}{S(R=-1)}+\left (\frac{S_{m}}{UTS}) \right )^2=1
We can then calculate the equivalent stress for any other R-ratio RR:
然后我们可以计算任何其他r比RR的等效应力(公式比较复杂未列出，可以看帮助文档)
Graphically, this looks like:
图形看起来像这样：
In practice this is not very realistic, because the reduction in fatigue strength under compressive loading is the same as it is under tensile loading. The Gerber correction in its original form will in general be rather non-conservative for tensile mean stresses and rather pessimistic for compressive mean stresses. This is particularly unrealistic, and so the method as implemented in nCodeDT is modified so that for compressive loadings:
在实践中，这是不太现实的，因为在压缩载荷下疲劳强度的降低与在拉伸载荷下相同。一般来说，原始形式的格伯修正对于拉平均应力是非保守的，对于压缩平均应力则是悲观的。这是特别不现实的，因此在nCodeDT中实现的方法被修改，以便对于压缩加载:
\frac{S_{a}}{S(R=-1)}-\left (\frac{S_{m}}{UTS}) \right )^2=1
Nevertheless, this method (illustrated in Figure 9) is not highly recommended.Also (although this is not likely to be an issue in practice) the user can imagine that this method may have problems finding a unique solution for the equivalent，stress, or any solution at all, when RR (the R-ratio of the test data) lies deep in the compressive region.
然而，这种方法(如图所示)并不被强烈推荐（不推荐）。用户也可以想象(尽管这在实践中不太可能是一个问题)当RR(测试数据的R-ratio)位于深层时，这种方法可能难以找到等效解、应力解或任何解的唯一解抗压区域。
This option provides a better solution by flattening off the constant life diagram in the compressive region in the same way as for oodmanTensionOnly.
这个选项提供了一个更好的解决方案，在压缩区域以相同的方式将常数寿命图拉平，就像GoodmanTensionOnly。
When Interpolate is selected, the mean stress effect will be taken into account by interpolation (or extrapolation) from multiple curves. The exact method depends upon the S-N data type and the differences are detailed in the section on SNMethod (MultiMeanCurve, MultiRRatioCurve and Haigh).
当选择Interpolate时，将通过对多条曲线进行插值(或外推)来考虑平均应力效应。准确的方法取决于S-N数据类型，其差异在SNMethod (MultiMeanCurve, MultiRRatioCurve and Haigh)一节中详细说明。
The FKM method as implemented here is based on the method described in the FKM Guideline “Analytical Strength Assessment of Components in Mechanical Engineering”, Tr. E. Haibach. 2003.
本文所实现的FKM方法是基于FKM指南“机械零件的分析强度评估”《工程》，海巴赫出版社，2003。
In essence it uses 4 factors M1-4 which define the sensitivity to mean stress in 4 regimes:
从本质上讲，它使用了4个因素M1-4，定义了4种状态下对平均压力的敏感性:
1R>1
2–infinity <= R < 0
30 <= R < 0.5
40.5 <= R < 1
...where R is the stress ratio (min/max) of the loading cycle. The method allows us to determine the equivalent stress amplitude Seq at a particular material R-ratio, Rref. The method is illustrated in the form of a constant life or Haigh diagram in Figure 11:
式中R为加载周期的应力比(最小/最大)。该方法允许我们确定在特定材料r比下的等效应力振幅Seq。文中用常数寿命或黑格图的形式说明了这种方法如下图：
The values of M1-4 can be determined from material tests or estimated as follows:
M1-4的值可以从材料试验中确定或按以下方法估计
M1 = 0
M2 = -Mσ
M3 = -Mσ /3
M4 = 0
...where the value of Mσis estimated as follows for the supported material types:
Mσ = aM*10-3*Rm + bM
where aM and bM are constants and Rm is the UTS in MPa.Values of aM and bM for the different supported material classes are as follows:
其中，对于支持的材料类型，Mσ的值估计如下:Mσ= aM*10-3*Rm + bM
其中aM和bM为常数，Rm为单位为MPa的UTS（抗拉强度）。不同支持的材料类的aM和bM值如下：
In the software, if M1-4 are undefined, and the material type is one of those listed, all the parameters will be estimated using these rules. If only M2 is defined, then M1 and M4 will be set to zero and M3 to M2/3.
在软件中，如果M1-4未定义，且材料类型为所列材料类型之一，则使用这些规则估计所有参数。如果只有M2被定义，那么M1和M4将被设置为零，M3将被设置为M2/3。
The Chaboche mean stress correction can be used with the Chaboche and ChabocheTransient method. See “Chaboche” on page 110.
Chaboche平均应力修正可与Chaboche和Chaboche瞬态法结合使用。参见110页的“Chaboche”。
The Walker mean stress correction calculates an effective stress amplitude based on the maximum stress, the R Ratio of each cycle and the Walker material parameter Gamma. This method currently only works with standard S-N data types. In its original form it is used to calculate an effective stress Se that can be compared to an R = -1 S-N curve, based on the maximum stress amplitude Smax and the R Ratio (RR):
Walker平均应力校正基于最大应力、每个周期的应力比和Walker材料参数计算有效应力幅值γ。这个方法目前只适用于标准的S-N数据类型。其原始形式是根据最大应力幅值Smax和R比(RR)计算有效应力Se，可与R = -1 S-N曲线进行比较:
\sigma _{ar}=\sigma _{max}\left ( \frac{1-R}{2} \right )^{\gamma }
Expressed in terms of the stress amplitude:
用应力幅表示:
\sigma _{ar}=\sigma _{a}\left ( \frac{2}{1-R} \right )^{\gamma }
This method uses two parameters GammaP for tensile mean stress cycles and GammaN for negative mean cycles.
该方法采用两个参数GammaP进行拉伸平均应力循环负平均环的GammaN。
看完上面的一些资料我觉得平均应力修正的这个事情还是没有说的很清楚（也可能是自己没有理解到位），我又搜集了一些资料，在此基础上增加一些自己的理解。
因为大多数基本的疲劳数据都是通过R = -1的加载方式在实验中收集的，但是实际中分析的系统受到的并非R = -1的加载方式，也就是平均应力大多数是不为0的，因此在使用平均应力为0的曲线进行寿命统计时就得进行平均应力修正。
下面这个图跟上面我们看到的GoodmanTensionOnly 曲线比较类似，我们可以看到这是在指定寿命的情况下得到的一组曲线，比如N是10e7次循环，那么σN就是疲劳极限，当然如果N小于10e7次循环，比如是10e3次循环，那么σN就比较大，可能要接近材料的屈服强度，所以这个图首先是可以根据不同的寿命变化的。横坐标是平均应力，右侧是拉伸，左侧是压缩，可以看出随着平均应力的增加，在恒定寿命时，应力的幅值是变小，所以在平均应力修正时，可以得到某一点在该平均应力下对应于R = -1时的应力幅，再用这个数据去查R = -1时刻的SN曲线就可以进行寿命统计了。
接下来我们来举个例子：
构件承受的最大循环应力为750 MPa，最小为70 MPa。制造这种材料的钢的极限抗拉强度S u为1050 MPa，实测的疲劳极限S 6为400 MPa。在应力为750 MPa时可以循环1 000次。同时采用Goodman和Gerber平均应力修正方法，计算构件应力比为-1时候的应力幅值。
第一步是计算应力幅值S a和平均应力S m
S_{a} = (S _{max }- S_{min} ) / 2 = (750 - 70) / 2 = 340 MPa
S_{m} = (S _{max }+ S _{min }) / 2 = (750 + 70) / 2 = 41 0 MPa
由Goodman方程得：将应力比为70/750时的应力幅值转换为应力比为-1时候的应力幅值
(S_{a} / S_{n } ) + (S _{m }/ S_{u} ) = 1
(340 / S _{n} ) + (41 0 / 1 050) = 1
S _{n} = 557.8 MPa.
由Gerber方程得出：
(S_{a} / S_{n } ) + (S _{m }/ S_{u})^2 = 1
S _{n} = 401.2 MPa.
可以看出来两种方法得到的等效应力幅值之间的差距，Goodman是偏保守的。
我们通过Sn值进行查SN曲线就可以进行疲劳计算了。
欢迎各位CAEer们讨论，指正，共同进步成长。
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