Matlab复指数积分与复曲线积分计算方法

将被积函数定义为匿名函数

对以下方程求积分

∮Cezzdz

其中 C 是一条闭围线，围绕原点处的 ez/z 简单极点。

将被积函数定义为匿名函数。

fun = @(z) exp(z)./z;

不使用路径点求积分

可以用参数化计算复值函数的围线积分。在一般情况下，指定一条围线，然后将其微分并用于参数化原被积函数。在这种情况下，将围线作为单位圆，但在所有情况下，其结果与所选围线无关。

g = @(theta) cos(theta) + 1i*sin(theta);

gprime = @(theta) -sin(theta) + 1i*cos(theta);

q1 = integral(@(t) fun(g(t)).*gprime(t),0,2*pi)

q1 = -0.0000 + 6.2832i

这种参数化方法虽然可靠，但难以计算和费时，因为必须先计算导数，然后才能积分。即使是简单函数，也需要写几行代码才能获得正确的结果。由于围绕极点(在本例中为原点)的任何闭围线都有相同的结果，因此可以使用 integral 的 'Waypoints' 选项构建一个围绕极点的方形或三角形路径。

对不包含极点的围线求积分

如果路径点向量积分或元素限值为复数，则 integral 会在复平面中针对直线路径序列求积分。围线周围的自然方向为逆时针；指定顺时针围线类似于乘以 -1。以这种方式指定围线使其包含一个单函数奇点。如果指定一条不包含极点的围线，则柯西积分定理可保证闭积分环的值是零。

为此，应对远离原点的方围线周围的 fun 求积分。使用相等的积分限值形成一个闭围线。

C = [2+i 2+2i 1+2i];

q = integral(fun,1+i,1+i,'Waypoints',C)

q = 0.0000e+00 + 2.2204e-16i

其结果数量级为 eps，实际上为零。

对内部包含极点的围线求积分

指定一个完全在原点包含极点的方围线，然后求积分。

C = [1+i -1+i -1-i 1-i];

q2 = integral(fun,1,1,'Waypoints',C)

q2 = -0.0000 + 6.2832i

这个结果与 q1 的上述计算相符，但使用的代码简单得多。

这个问题的确切答案是 2πi。

2*pi*i

ans = 0.0000 + 6.2832i

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