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1882 年 Hertz 柏林大学发表的学术论文 论弹性体的接触( On the contact of elastic solids) 开启了接触力学的研究。
接触问题属于不定 边界 问题，即使是弹性接触问题也具有表面非线性，其中既有由接触面积变化而产生的非线性及由接触压力分布变化而产生的非线性，也有由摩擦作用产生非线性。
两个互相接触的物体，随着其载荷大小的不同，无论是接触面积还是接触压力分布，都会发生显著的变化。即随着载荷增大，法向接触压力分布的变化是非线性的，而其切向压力分布由于摩擦作用将会更加复杂。 由于这种表面非线性和边界不定性，所以，一般说来，接触问题的求解是一个 反复迭代 的过程。
从物理意义上讲，两个物体彼此接触，接触压力在两个物体间传递，同时，接触面之间存在摩擦将产生切应力，阻止物体切向运动；从数值计算上讲，接触是及其不连续的边界条件非线性，即接触面接触时产生接触约束，接触面一旦分离，约束失效。
处于接触状态的两个表面，有如下特点：
- 1. 互相不穿透
- 2. 能够传递法向压力和切向摩擦力
- 3. 通常不传递法向拉力
接触是 状态改变 非线性，即系统的刚度依赖于接触状态。接触状态可分为分离状态、粘接接触状态、滑动接触状态。
接触是强非线性，随着接触状态的改变，接触表面的法线和切向刚度都有显著变化。刚度突变会导致严重的收敛困难。
接触问题通常分为两类：刚-柔接触 和 柔-柔接触。
以有限元为基础的接触问题数值解法，主要可分为直接迭代法、接触约束算法和数学规划法等。
直接迭代求解法：首先假设初始接触状态形成系统刚度矩阵，求得位移和接触力后，根据接触条件不断修改接触状态，重新形成刚度矩阵求解，反复迭代直至收敛。迭代法是解决非线性问题的常用方法，方程可用 Newton-Raphson 等方法迭代求解。
接触约束算法：接触问题可描述为求区域内位移场 U ，使得系统统的势能 Π(U) 在接触边界条件的约束下达到最小。
接触约束算法就是通过对接触边界约束条件的适当处理，将约束优化问题转化为无约束优化问题求解。 根据无约束优化方法的不同，主要可分为 罚函数 方法和 Lagrange 乘子法等。
ANSYS 软件采用的是接触约束算法，它提供了如下四种接触约束算法：
• 纯罚函数法
• 增广拉格朗日乘子法
• 纯拉格朗日乘子法
• 接触法向采用拉格朗日乘子法与摩擦方向采用罚函数法的综合方法
罚函数法用一个接触弹簧来在两个面间建立关系，弹簧刚度被称为惩罚参数，其实就是接触刚度。当两面分开时，弹簧不起作用；当面开始穿透时，弹簧起作用，根据胡克定律：F = K Δ ，此处的 K 为法向刚度 。
除了表面间传递法向压力外，接触单元还传递切向摩擦力，采用切向罚刚度保证切向的协调，作为初始值，可采用 Ktangent = 0.01 * Knormal 。
然而，在上述物理 模型 中，存在一个两难问题，即为了维持相互接触的两个物体的平衡，则接触面间的压力/摩擦力必不为 0 (如果为 0 你费劲巴拉的分析个毛线)，进而有接触面间的相对法向/切向位移 Δ (法向可称作作穿透量，切向可称作滑移量) 必不为 0，这与事实相违背，实际上任何两个相互接触且有相互作用的固体，不存在宏观层面上的相互穿透 (微观层面上可能出现相互扩散现象)，这是物理事实。为了保证计算能继续进行，又不与物理事实发生严重的背离，则相对位移 Δ 不应过大，而在特定外力作用下，物体维持平衡所需的接触力是固定不变的，那么，此时接触刚度就应该足够大。当接触刚度过大时，又会引起收敛困难，这时因为，如果接触刚度太大，一个微小的穿透就会产生一个很大的接触反力，在下一次迭代中，可能会将接触面推开，这将导致收敛振荡，并且尝尝会发散。因此，必须给定合适的接触刚度，最小的穿透量给出最大的计算精度。
罚函数法：对于罚函数法需要接触法向刚度与切向刚度。它主要的缺点是两个接触物体表面之间的渗透深度取决于这两个刚度。如果刚度较小，则渗透就会很大。高的刚度可以减小渗透的深度，但是会导致整体刚度矩阵出现病态和收敛的困难。因此，理想的刚度就是既要能保证渗透较小，又要保证整体刚度阵不出现病态，才能够收敛。
拉格朗日乘子法，增加一个附加自由度 (接触压力)，来满足不可穿透条件。
增广拉格朗日乘子法：该方法是通过改变罚因子寻找拉格朗日乘子的迭代过程。与纯罚函数相比增广拉格朗日乘子法通常能够产生更好的情况，接触刚度系数对它的影响相对也要小一些。但是在有些分析中需要一些附加的迭代，需要较多的时间。
多数 ANSYS 接触单元可以将罚函数法和拉格朗日乘子法结合起来强制接触协调，称之为增广拉格朗日法。在迭代的开始，接触协调基于惩罚刚度确定，一旦达到平衡，检查穿透容差。此时，如有必要，接触压力增加，迭代继续。
绝对理想情况下，相互接触的两个物体的接触面应该不发生穿透，但为了使得分析的顺利进行，同时，又具有相当的 精度 ，应保证接触面的实际穿透量小于规定的允许穿透量。
当程序防止相互穿透时，称之为强制接触协调。当没有强制接触协调时，发生穿透。
对面─面的接触单元，程序可以使用增广拉格朗日算法或罚函数方法，通过使用单元关键项 KETOPT(2) 来指定。
对于接触问题，必须认识到模型在变形期间哪些地方可能发生接触，在 ANSYS 中，通过目标单元和接触单元来定义它们，目标和接触单元跟踪变形阶段的运动，构成一个接触对的目标单元和接触单元通过共享的实常数号联系起来。
ANSYS 支持刚体─柔体的面─面的接触单元，刚性面被当作 “目标” 面，分别用 Targe169 和 Targe170 来模拟 2-D 和 3-D 的 “目标” 面，柔性体的表面被当作 “接触” 面，用 Conta171、Conta172、Conta173、Conta174 来模拟。一个目标单元和一个接单元叫做一个 “接触对” 程序通过一个共享的实常数号来识别 “接触对”，为了建立一个 “接触对” 给目标单元和接触单元指定相同的实常数号。
接触对特征：接触刚度、穿透容差、确定目标面。
在 GUI 中，定义的接触对及相关属性按如下方式查看，保证 ANSYS 处于前处理模块，否则接触竖向无法查看。
当外载一定时，若要维持相互接触的两个物体的平衡，接触面上的相互作用力是唯一确定的。于是有，接触面间的接触刚度越大，计算过程中产生的穿透量就越小，越接近物理实际，计算结果也就越精确。但过大的接触刚度将产生计算振荡，甚至是发散，使计算收敛困难。因此，必须指定合适的接触刚度，接触刚度包括法向接触刚度 Kn 和切向接触刚度 Kt ，一般，不特殊说明，接触刚度特指法向接触刚度 Kn，初始切向接触刚度可近似取为 Kt = 0.01 * Kn 。
接触刚度 是同时影响计算精度和收敛性的最重要参数 。
所有的 ANSYS 接触单元都采用罚刚度 (接触刚度) 来保证接触界面的协调性。
所有的接触问题都需要定义接触刚度，两个表面之间渗透量的大小取决于接触刚度，过大的接触刚度可能会引起总刚矩阵的病态，而造成收敛困难，一般来说，应该选取足够大的接触刚度以保证接触渗透小到可以接受，但同时又应该让接触刚度足够小以使不会引起总刚矩阵的病态问题而保证收敛性。
所有的接触问题都需要定义接触刚度，两个表面之间渗透量的大小取决于接触刚度，过大的接触刚度可能会引起总刚矩阵的病态而造成收敛困难，一般来说，应该选取足够大的接触刚度以保证接触渗透小到可以接受，但同时又应该让接触刚度足够小以使不会引起总刚矩阵的病态问题而保证收敛性。
1. 面-面接触
对于面-面接触单元，接触刚度通常指定为： Kn = FKN * 基体单元刚度 (KFN为比例因子) 。
首次计算时，FKN 可按如下方式进行初始估计 (若想获得更精确的解答，需要对FKN进行敏感性分析)：
| 接触类型 | FKN |
|---|---|
| 大面积实体接触 | 1.0 |
| 柔性较大的部件 (弯曲主导) | 0.01 ~ 0.1 |
For certain contact problems, you may choose to use the real constant FKN to define a normal contact stiffness factor. The usual factor range is from 0.1 - 10.0, with a default of 1.0. The default value should work in most cases. You can also define an absolute normal contact stiffness by specifying a negative value for FKN.
Kn 也可直接指定具体数值，其量纲为 (F/L)/(L^2)，此时，通过设置 FKN 为负值来实现。
2. 点-面接触 & 点-点接触
对于点-点接触单元和点-面接触单元，需要给定绝对法向接触刚度，即直接指定 Kn 的具体取值。
| 接触类型 | FKN |
|---|---|
| 对于大变形 | 0.1 * E < Kn < 1.0 * E |
| 对于弯曲 | 0.01 * E < Kn < 0.1 * E |
上表中，E 为弹性模量。
参数敏感性分析，确定计算结果对接触刚度是否敏感。以下步骤使用于静态、非路径相关的分析。
Step 1. 设置接触单元关键选项， 令KEYOPY(10)=1，以允许接触刚度在重启动期间可以修改。
Step 2. 给定一个较小的初始接触刚度值，使计算能快速收敛。
Step 3. 运行分析，或对前几个子步进行计算。
Step 4. 检查穿透量和每一个子步平衡迭代次数。
若穿透量大，需要提高接触刚度重新分析；若收敛的迭代次数过多或未收敛，则可降低接触刚度重新分析。
Step 5. 检查接触压力、Mises等效应力 (SEQV) 等是否发生显著变化。
Step 6. 若有显著变化，则增大接触刚度重新启动求解，直到达到所期望的收敛。
注意：罚刚度 (接触刚度) 可以在荷载步间改变，并且可以在重启动中调整。
接触刚度是同时影响计算精度和收敛性的最重要参数。如果收敛有问题，减小接触刚度值，重新分析。
在敏感的分析中，还应该改变接触刚度来验证结果的有效性。在分析中减小接触刚度范围，直到结果 (接触压力、最大 SEQV 等) 不再明显改变。
在 ANSYS 中，默认情况下，FKN = 1.0 ，在多数情况下，已经能得到相当的计算精度。
同样地，穿透容差也是影响计算精度和收敛性的重要参数。当穿透容差较小时，可以改善计算精度，但会使得收敛更加困难。
和接触刚度一样，以系数 FTOLN 的方式给定穿透容差。即程序通过下层单元的深度 h 乘以所给出的系数来确定穿透容差，在计算过程中，程序始终保证实际穿透量 Δ 小于等于穿透容差，如下式所示：
Δ ≤ [ Δ ] = F T O L N ∗ h \Delta \ \leq \ [\Delta] ={\rm FTOLN} \ * \ h Δ ≤ [Δ]=FTOLN ∗ h
注意：不要设置较小的接触刚度，同时设置较小的穿透容差，即 FKN 和 FTOLN 尽量协调合理。
太小的 FTOLN 值将导致收敛困难，增大惩罚刚度 (FKN) 将会减小穿透。
Use real constant FTOLN in conjunction with the augmented Lagrangian method. FTOLN is a tolerance factor to be applied in the direction of the surface normal. The range for this factor is less than 1.0 (usually less than 0.2), with a default of 0.1, and is based on the depth of the underlying solid, shell, or beam element. This factor is used to determine if penetration compatibility is satisfied.
Contact compatibility is satisfied if penetration is within an allowable tolerance (FTOLN times the depth of underlying elements). The depth is defined by the average depth of each individual contact element in the pair. If the program detects any penetration larger than this tolerance, the global solution is still considered unconverged, even though the residual forces and displacement increments have met convergence criteria. You can also define an absolute allowable penetration by specifying a negative value for FTOLN. In general, the default contact normal stiffness is inversely proportional to the final penetration tolerance; the tighter the tolerance, the higher the contact normal stiffness.
增广拉格朗日算法是为了找到精确的拉格朗日乘子而对罚函数修正项进行反复迭代，与罚函数的方法相比，拉格朗日方法不易引起病态条件，对接触刚度的灵敏度较小，然而，在有些分析中，增广拉格朗日方法可能需要更多的迭代，特别是在变形后网格变得太扭曲时。使用拉格朗日算法的同时应使用实常数 FTOLN，FTOLN 为拉格朗日算法指定容许的最大渗透，如果程序发现渗透大于此值时，即使不平衡力和位移增量已经满足了收敛准则，总的求解仍被当作不收敛处理，FTLON 的缺省值为 0.1，这个值可以改变，但如果此值太小可能会造成太多的迭代次数或者不收敛。
在基本的库仑摩擦模型中，两个接触面在开始相互滑动之前，在它们的界面上会有达到某一大小的剪应力产生，这种状态叫做粘合状态 (stick) 。库仑摩擦模型定义了一个等效剪应力，一旦剪应力超过此值后，两个表面之间将开始相互滑动，这种状态，叫做滑动状态 (Sliding) 粘合／滑动计算决定什么时候一个点从粘合状态到滑动状态或从滑动状态变到粘合状态，摩擦系数可以是任一非负值。程序缺省值为表面之间无摩擦。
摩擦分为静摩擦、滑动摩擦和滚动摩擦。最大静摩擦比滑动摩擦略大，近似计算时可认为最大静摩擦等于滑动摩擦，通常，滚动摩擦远小于滑动摩擦 (高中物理知识)。
根据高中物理知识，滑动摩擦力可按下式计算：
f = μ N f = \mu N f=μN
产生摩擦力的三要素：两个物体相互接触、接触面粗糙、存在垂直于接触面的正压力。
物体在外力的作用下，接触面上将产生摩擦力 (本处不讨论无摩擦情况)，摩擦力达到最大静摩擦力前物体保持静止状态，当摩擦力超过最大静摩擦力时，物体将发生滑动，此时摩擦力由静摩擦力转化为滑动摩擦力。
ANSYS 程序提供了一个不管接触压力多大而人为指定最大等效剪应力的选项，如果等效剪应力达到此值时，滑动发生。为了指定接触界面上最大许可剪应力，设置常数 TAUMAX，这种限制剪应力的情况一般用于接触压力非常大的时候，以至于用库仑理论计算出的界面剪应力超过了材料的屈服极限。一对 TAUMAX 的一个合理估计为 σy
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