考试范围
< 考试内容 >
① 多元函数（20%）
② 二重积分，三重积分（20%）
③ 曲线积分，曲面积分（20%）
④ 级数（22%）
⑤ 复变函数（18%）
< 不考内容 >
重积分的物理应用，散度，旋度，斯托克斯公式
复数计算，初等函数计算，调和函数，傅里叶级数的 2L 周期
NJUPT《高等数学下》真题及答案
第7章 多元函数
- 概念
定义域，连续性，求极限
- 偏导数，全微分
1）偏导数：其中一个变量的导数，而其他变量不变
2）全微分：dz = ∂z/∂x *dx + ∂z/∂y *dy，z 为多元函数
- 多元复合函数求导
1）二元函数
∂z/∂t = ∂z/∂x *∂x/∂t + ∂z/∂y *∂y/∂t
2）三元函数
u = f (x, xy, xyz)，∂u/∂x = f₁ + yf₂ + yzf₃
- 隐函数求导
1）二元隐函数
F(x,y) = 0 ，Fx、Fy 是偏导，∂y/∂x = -Fx/Fy
2）三元隐函数
- 几何应用
- 方向导数，梯度
方向导数 = 梯度 * 单位法向量 = gradu|M * n0
单位向量：法线向外取正，法线向内取负
梯度：gradu |M = {∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z} |(x0, y0,z0)
- 多元函数求极值
① 求 f(x,y) 的极值
② 求 z = f(x,y) 在 g(x,y) = 0 闭区间 D 上的极值
第8章 重积分
- 重积分
1）I = ∫∫D f₁(x,y)dxdy，I’ = ∫∫D f₂(x,y)dxdy
2）估算积分值
结论：区域 D 相同，若 f₁(x,y) ≥ f₂(x,y)，则 I ≥ I‘
- 二重积分
1）直角坐标的二重积分
① 化二重积分为二次积分
∫∫D f(x,y)dσ = ∫dx ∫f(x,y)dy
② 交换积分次序
③ 计算二重积分
④ 体积 V = ∫ dx ∫ z(x,y) dy，质量 m = ∫ dx ∫ μ(x,y) dy
2）极坐标下的二重积分
① ∫∫ D f(x,y)dσ = ∫dθ ∫D f(rcosθ, rsinθ) rdr
② ∫∫ D f(x,y)dσ = I，关于 x 轴对称时
若 f(x,y) = f(x,-y) ，则 I = 2I'
若 f(x,y) = - f(x,-y) ，则 I = 0
∫∫D f(x,y)dσ = I，关于 y 轴对称时
若 f(x,y) = f(-x,y) ，则 I = 2I'
若 f(x,y) = - f(-x,y) ，则 I = 0
③ 体积 V = ∫ dθ ∫ z(rcosθ, rsinθ) *r dr
- 三重积分
1）直角坐标系
② 计算三重积分
① 化三重积分为三次积分
∫∫∫Ω f(x,y,z) dV = ∫ dx ∫ dy ∫ f(x,y,z)dz
2）柱面坐标系
② 计算三重积分
① 化三重积分为三次积分
∫∫∫Ω f(x,y,z) dV = ∫ dθ ∫ rdr ∫ f(x,y,z) dz
3）球面坐标系
① 化三重积分为三次积分
∫∫∫Ω f(x,y,z) dV = ∫dθ ∫sinφdφ ∫f( rcosθsinφ, rsinθsinφ , rcosφ) r²dr
② 计算三重积分
- 重积分的应用
① 求割下面积② 球体质心（质心显然在z轴上）
③ 薄片质心
（质心显然在y轴上）④转动惯量
第9章 曲线积分，曲面积分
- 曲线积分
1）第一类曲线积分（对弧长，没有积分方向）
2）第二类曲线积分（对坐标，有积分方向）
- 格林公式
- 曲面积分
1）第一类曲面积分（对面积，没有积分方向）2）第二类曲面积分（对坐标，有积分方向）
- 高斯公式，通量，散度
①散度②高斯公式（封闭曲面）③通量
- 斯托克斯公式，环流量，旋度
①旋度②环流量③ 斯托克斯公式
第10章 无穷级数
- 常数项级数及审敛法
1）正项级数
② 根值法，比值法，比较法
① ∑(n=1,∞) 1/n，发散
∑(n=1,∞) 1/n^a，a> 1 收敛，a≤ 1 发散
∑(n=1,∞) a^n，a< 1 收敛，a≥ 1 发散
③ 直接计算 ，例如：∑(n=1,∞) (√n+1-√n) = -1+ √n+1，所以发散
4）交错级数
5）交错发散，则交错级数发散
交错收敛，正项收敛，则交错级数绝对收敛
交错收敛，正项发散，则交错级数条件收敛
- 幂级数
1）收敛半径
再令 S(x) = 0求出 C
先将 | lim(n->∞)U(n+1)/Un | < 1化为 | x+a | < b，收敛半径就是 b
例如：Un = nx^n，| lim(n->∞)(n+1)* x^n+1/n* x^n | < 1，化为 | x | < 1，收敛半径为1
2）∑(n=1,∞) an( x+b )^n 在 x = a1 处收敛，则此级数在 x = a2 处绝对收敛吗？
若 | a2+b | < | a1+b | ，则绝对收敛
若 | a2+b | ≥ | a1+b | ，则不绝对收敛
3）收敛区域
① | lim(n->∞)U(n+1)/Un | < 1时，x 的范围
② | lim(n->∞)U(n+1)/Un | = 1时，满足收敛的 x值
4）和函数
a. 当 Un = f(n) * x ^f(n)-1 时，Vn = ∫ Un dn
S(x) = [ V₁ / (1 - Vn+1/Vn) ] '，且 |x| < 1
b. 当 Un = x ^f(n) / f(n) 时，Vn = Un '
S(x) = ∫ V₁ / (1 - Vn+1/Vn) dx + C，且 |x| < 1
- 函数展开为幂级数
1）常规做法
① 先求出 f(0)，f(x)^n（ n 阶导数 ）
② 再展开 f(x) = f(0) + ∑(n=1,∞) f(x0)^n * x^n/n!（ x0 取0 ）
③ 最后求 Un 收敛区域
2）麦克劳林公式法
3）将 f(x) 在 x=a 处展开
将 f₁(x) 化为 f₂(x-a) 的形式，再麦克劳林展开即可
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