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广义Maxwell模型在Abaqus中的Prony级数应用

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线性粘弹性材料广义Maxwell模型

粘弹性材料概括了材料的弹性和粘性特征，由弹簧和阻尼分别表征。广义Maxwell模型是多支Maxwell模型的组合。如图所示：

广义Maxwell模型

其在时域的数学表达式为：

$E(t)%3DE_%5Cinfty%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20E_ie%5E%7B-t%2Ft_%7BRi%7D%7D%20%5Ctag%7B1%7D$

频域的数学表达式为：

$E(%5Comega)%3DE_%5Cinfty%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cfrac%7BE_i%20%5Comega%20t_%7BRi%7Di%7D%7B1%2B%5Comega%20t_%7BRi%7Di%7D%20%20%5Ctag%7B2%7D$

式中：

$E_%5Cinfty%20%E2%80%94%E2%80%94$ 平衡模量；

$E_i%20%E2%80%94%E2%80%94$ 第 i 时刻的松弛强度

$t_%7BRi%7D%20%E2%80%94%E2%80%94$ 第 i 时刻的松弛时间， $t_%7BRi%7D%3D%5Ceta_i%2FE_i$

$i%E2%80%94%E2%80%94$ 为虚数单位

Abaqus中的Prony 级数

引入 $E_0%3DE_%5Cinfty%20%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20E_i$ ，则 $m_i%3DE_i%2FE_0$

方程（1）可写做：

$E(t)%3DE_0(1-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7Dm_i)%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7Dm_iE_0e%5E%7B-t%2Ft_%7BRi%7D%7D%5Ctag%7B3%7D$

由弹性模量之间的关系：

$E%3D3K(1-2%5Cnu)%20%5Ctag%7B4%7D$ $E%3D2G(1%2B%5Cnu)%20%5Ctag%7B5%7D$

可以计算剪切模量和体积模量。

$G(t)%3DG_0(1-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7Dg_i)%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7Dg_iG_0e%5E%7B-t%2Ft_%7BRi%7D%7D%5Ctag%7B6%7D$ $K(t)%3DK_0(1-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7Dk_i)%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7Dk_iK_0e%5E%7B-t%2Ft_%7BRi%7D%7D%5Ctag%7B7%7D$

在Abaqus中粘弹性参数需要输入Elastic和Viscoelastic

Elastic中

Viscoelastic中

**特别注意**Abaqus中，Prony为归一化参数，输入 $g_i%2Ck_i%2Ct_%7BRi%7D$ 。有时体积模量为常数，此时 $k_i%3D0$

例子

弹性模量为Maxwell模型：

泊松比为0.35。最终输入为

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